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| Aufgabe | Auf der Menge Abb( R,R) = { f: R -> R | f eine Abbildung} können wir auch Verknüpfungen + und * definieren durch:
(f*g) (x) := f(x) * g(x)
(f+g) (x) := f(x) + g(x).
z.z.:
(1) Es gibt ein e aus Abb (R,R) mit e*f= f für alle f aus Abb(R,R)
(2) -...- n aus Abb (R,R) mit n+f= f - .... -
(3) Abb (R) ist kein Körper. |
Hallo,
ich habe leider keinen Ansatz, um die Aufgabe zu lösen. Könnte mir jemand weiterhelfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs mit e(x)=1 und n(x)=0 für alle x [mm] \in \IR [/mm] ?
FRED
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Ich habe keine Ahnung wie mir das weiterhelfen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir rechnen:
e(x)*f(x)=1*f(x)=f(x) für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
und
n(x)+f(x)=0+f(x)=f(x) für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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Sind dadurch die Sätze 1 und 2 bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sind dadurch die Sätze 1 und 2 bewiesen?
Mit dem, was ich in der Mitteilung geschrieben habe: Ja.
Für Teil 3 suche ein Element [mm] $f\in Abb(\IR,\IR)$ [/mm] mit [mm] $f\not=n$, [/mm] dass kein multiplikativ inverses [mm] $g\in Abb(\IR,\IR)$ [/mm] hat.
D.h. es muss [mm] $f*g\not=e$ [/mm] für alle [mm] $g\in Abb(\IR,\IR)$ [/mm] gelten.
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Hmm, muss ich also eine bestimmte Zahl finden, dessen inverse nicht in der Abbildung ist? Wie muss die denn aussehen :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hmm, muss ich also eine bestimmte Zahl finden, dessen
> inverse nicht in der Abbildung ist? Wie muss die denn
> aussehen :S
Die Elemente von [mm] $Abb(\IR,\IR)$ [/mm] sind keine Zahlen, sondern Abbildungen.
Gesucht ist ein Element [mm] $f\in Abb(\IR,\IR)$ [/mm] mit [mm] $f\not=n$, [/mm] dass keine multiplikativ inverse Abbildung [mm] $g\in Abb(\IR,\IR)$ [/mm] hat.
Gesucht ist also eine Abbildung [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit:
1. [mm] $f\not=n$, [/mm] d.h. nicht für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] gilt [mm] $f(x)=\underbrace{n(x)}_{=0}$, [/mm] d.h. für mindestens ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist [mm] $f(x)\not=0$.
[/mm]
2. Es existiert kein [mm] $g\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $\underbrace{(f*g)(x)}_{=f(x)*g(x)}=\underbrace{e(x)}_{=1}$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
D.h. es existiert kein [mm] $g\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x)*g(x)=1$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Betrachte z.B. die Abbildung [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] definiert durch $f(x):=x$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Prüfe 1. und 2. nach.
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Wenn ich also die Abb. f (x)=x, für x aus R nehme, ist das ja ungleich Null.
[mm] x\not= [/mm] n(x). Aber reicht das als Beweis?
Bei der 2. weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn ich also die Abb. f (x)=x, für x aus R nehme, ist das
> ja ungleich Null.
> [mm]x\not=[/mm] n(x). Aber reicht das als Beweis?
Z.B. für $x=1$ gilt [mm] $f(x)=x=1\not=0=n(x)$. [/mm] Das reicht als Beweis von [mm] $f\not=n$.
[/mm]
(Für $x=0$ gilt sehr wohl $x=n(x)$.)
> Bei der 2. weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll...
Zu zeigen ist: Es existiert kein [mm] $g\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x)*g(x)=1$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Angenommen, es existiert so ein [mm] $g\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x)*g(x)=1$ für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Dann gilt insbesondere für x=0: ...
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Dann gilt für x =0
f(x) * g(0) [mm] \not= [/mm] 1 Also ist dies ein Widerspruch.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Dann gilt für x =0
> f(x) * g(0) [mm]\not=[/mm] 1 Also ist dies ein Widerspruch.
>
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau. Für x=0 erhalten wir $0=0*g(0)=f(0)*g(0)=1$, Widerspruch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 So 04.11.2012 | | Autor: | xxela89xx |
Super, ich danke vielmals!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
kleine Ergänzung:
$(e*f)(x)=$
> e(x)*f(x)=1*f(x)=f(x) für alle x [mm]\in \IR[/mm]
$(n+f)(x)=$
> n(x)+f(x)=0+f(x)=f(x) für alle x [mm]\in \IR[/mm]
Also $e*f=f$ und $n+f=f$.
Viele Grüße
Tobias
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