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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Sa 20.10.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Wir haben 3 Mengen:
L=(1,2,3)
M=(a,b,c)
N=(0,1)
f: L->M und g: M->N
f(1)=b, f(2)=c und f(3)=a
g(a)=g(b)=0 und g(c)=1
Prüfen Sie ob f und g bijektiv sind und geben Sie gegebenenfalls die Umkehrabbildung an. |
Hallo Leute,
ansich eine sehr einfache Aufgabe. Nur weiß ich nicht genau, wie ich so formal verfasse. Mir ist absolut klar, dass f bijektiv ist und g nur surjektiv.
Wollte nunmal beginnen und die Injetivität von f zeigen. Es muss also gelten:
f(x)=f(y) => x=y x,y mit [mm] \in [/mm] L
Das ganze ist für mich klar, ich wüsste nicht, wie ich das formal beweisen sollte.
Kann mir das mal jemand erklären? Danke schonmal!
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moin,
Du hast hier freundlicherweise sehr kleine endliche Mengen, also kannst du das ganze per Fallunterscheidung machen.
Seien $f(x) = f(y)$. Fall 1: $f(x)=f(y)=a$. Dann folgt $x=3$ und $y=3$, insbesondere also $x=y$.
Fall 2: $f(x)=f(y)=b$...
Da deine Mengen so klein sind sollte das nicht all zu lange dauern.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Sa 20.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, sehe ich ein, danke!
Die Umkehrabbildung von f wäre doch einfach:
[mm] f^{-1}(b)=1, f^{-1}(c)=2, f^{-1}(a)=3
[/mm]
Richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 21.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Nun will ich ja noch zeigen, dass g nur surjektiv ist. Kann ich da einfach hingehen und sagen:
Da g(a)=g(b)=0, besitzt die 0 zwei Urbilder und kann somit schonmal nicht injektiv sein. Die 1 besitzt nur ein Urbild und damit ist das ganze surjektiv, da jedes Element mindestens ein Urbild besitzt.
Das ist aber ansich kein Beweis oder?
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Doch, das reicht vollkommen als Beweis.
Du hast gezeigt, dass es zwei Elemente gibt, die auf dasselbe abgebildet werden; nicht injektiv.
Du hast für jedes Element aus dem Zielbereich explizit ein Element angegeben, das darauf abgebildet wird; surjektiv.
Das ist sogar ein sehr schön konstruktiver Beweis und reicht wie gesagt vollkommen aus.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 21.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Alles klar, danke!
Eine Sache noch und zwar soll man noch zeigen, ob g°f injektiv ist.
(g°f)(1)=g(f(1))=g(b)=0
(g°f)(2)=g(f(2))=g(c)=1
(g°f)(3)=g(f(3))=g(a)=0
Somit ist dies surjektiv und nicht injektiv, da jedes Element aus N mindestens ein Urbild in L hat, korrekt?
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> Alles klar, danke!
>
> Eine Sache noch und zwar soll man noch zeigen, ob g°f
> injektiv ist.
>
> (g°f)(1)=g(f(1))=g(b)=0
> (g°f)(2)=g(f(2))=g(c)=1
> (g°f)(3)=g(f(3))=g(a)=0
>
> Somit ist dies surjektiv und nicht injektiv, da jedes
> Element aus N mindestens ein Urbild in L hat, korrekt?
Dies ist eine Begründung für surjektiv, ja.
Allerdings müsstest du auch injektiv noch ganz kurz begründen (du hast ja die benötigten Funktionswerte dafür schon).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mo 22.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Alles klar, danke soweit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Sa 20.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Es steht nirgendwo, dass a [mm] \ne [/mm] b ist. Wenn a=b ist, so ist f nicht injektiv
FRED
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Ich vermute einfach mal hiermit sind keine Unbekannten gemeint sondern die Buchstaben $a,b,c$, die insbesondere paarweise verschieden sind.
Sonst könnte man auch $1 [mm] \neq [/mm] 3$ anzweifeln (sind wir vielleicht über [mm] $\IZ_2$?^^)
[/mm]
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