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Abbildungen: injektiv,surjektiv,bijektiv
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Sa 28.04.2012
Autor: ConstantinJ

Aufgabe
Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und M [mm] \subseteq [/mm] X eine Teilmenge. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (Beweis oder Gegenbeispiel)
a) Ist [mm] f|_{M} [/mm] inj, so ist auch f inj.
b) Ist f inj, so ist auch [mm] f|_{M} [/mm] inj.
c)Ist f surj,so ist auch  [mm] f|_{M} [/mm] surj.
d) Ist [mm] f|_{M} [/mm] surj, so ist auch f surj.
e) Ist [mm] f|_{M} [/mm] bij, so ist auch f bij.


Hi, ich die Aufgabe bearbeitet und würde gern wissen, ob das so richtig ist und ob man es so schreiben kann.

a) und e)
falsch da:
Gegenbeispiel: Sei f: X [mm] \to [/mm] Y, x [mm] \mapsto [/mm] x² , X:= {-1,1,2}, M:= {1,2}, Y:={1,4}
Dann gilt für [mm] f|_{M}(x) [/mm]
[mm] f|_{M}(1)=1, f|_{M}(2)=4 \Rightarrow f|_{M} [/mm] bij
und für f(x)
f(-1)=1, f(1)=1, f(2)=4            [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht inj [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht bij

b) richtig da:
f inj: [mm] \forall [/mm] x1,x2 [mm] \in [/mm] X: [mm] x1\not=x2 \Rightarrow [/mm] f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)
Da M [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x1,x2 [mm] \in [/mm] M: [mm] x1\not=x2 \Rightarrow [/mm] f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)
[mm] \Rightarrow f|_{M} [/mm] inj

c) falsch da:
Gegenbeispiel: Sei f:X [mm] \to [/mm] Y, x [mm] \mapsto [/mm] x
X=Y={1,2,3}  ,M={1,2}
[mm] \Rightarrow [/mm]  Im(f)= Y    [mm] \Rightarrow [/mm]  f surj
[mm] Im(f|_{M})=M (\subset\not= [/mm] Y)  [mm] \Rightarrow f|_{M} [/mm] nicht surj

d) richtig da:
[mm] f|_{M} [/mm] surj: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y  [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M: [mm] f|_{M}(x) [/mm] = y
Da M [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \Rightarrow \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y  [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y
[mm] \Rightarrow [/mm] f surj

        
Bezug
Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:10 So 29.04.2012
Autor: tobit09

Hallo Constantin,


> a) und e)
> falsch da:
> Gegenbeispiel: Sei f: X [mm]\to[/mm] Y, x [mm]\mapsto[/mm] x² , X:=
> {-1,1,2}, M:= {1,2}, Y:={1,4}
>  Dann gilt für [mm]f|_{M}(x)[/mm]
>  [mm]f|_{M}(1)=1, f|_{M}(2)=4 \Rightarrow f|_{M}[/mm] bij
>  und für f(x)
>  f(-1)=1, f(1)=1, f(2)=4            [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht inj
> [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht bij

[ok]


> b) richtig da:
>  f inj: [mm]\forall[/mm] x1,x2 [mm]\in[/mm] X: [mm]x1\not=x2 \Rightarrow[/mm] f(x1)
> [mm]\not=[/mm] f(x2)
>  Da M [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x1,x2 [mm]\in[/mm] M:
> [mm]x1\not=x2 \Rightarrow[/mm] f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)
>  [mm]\Rightarrow f|_{M}[/mm] inj

[ok]


> c) falsch da:
> Gegenbeispiel: Sei f:X [mm]\to[/mm] Y, x [mm]\mapsto[/mm] x
>  X=Y={1,2,3}  ,M={1,2}
>  [mm]\Rightarrow[/mm]  Im(f)= Y    [mm]\Rightarrow[/mm]  f surj
>  [mm]Im(f|_{M})=M (\subset\not=[/mm] Y)  [mm]\Rightarrow f|_{M}[/mm] nicht
> surj

[ok]


> d) richtig da:
>  [mm]f|_{M}[/mm] surj: [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y  [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M: [mm]f|_{M}(x)[/mm] =
> y
>  Da M [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\Rightarrow \forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y  [mm]\exists[/mm] x
> [mm]\in[/mm] X: f(x) = y
>  [mm]\Rightarrow[/mm] f surj

[ok]

Alles richtig!


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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