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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
| Aufgabe | hallo
ich habe noch bei folngender aufgabe ein problem.
wir betrachten die drehung [mm] \delta [/mm] : [mm] R^{3} \to R^{3}, [/mm] die den vektor x = [mm] \vektor{1 \\ \wurzel{3}} [/mm] auf den vektor y = [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm] abbildet
a) geben sie die matrix m an, die der abbildung [mm] \delta [/mm] hinsichtlich der kanonischen basis zugeordnet ist
b) handelt es sich bei der basis
B = {b1,b2} = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
um eine orthonormalbasisi des [mm] R^{3}? [/mm] wie lauten die koordinaten der vektoren x und y hinsichtlich B?
c) wie lautet die matrix M* die der abbilidung [mm] \delta [/mm] hinsichtlich B zugeordnet ist? |
zu a)
wie sieht die matrix M aus? muss ich da nur die beiden vektoren zusammenschreiben und invertieren ?
zu b)
b1 ist normiert oder? b2 ist nicht normiert! und die koordininaten bekomme ich doch einfach mit M*x bzw M*y oder?
zu c)
ist das M* = [mm] M^{-1}*B
[/mm]
vielen dank im voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo
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> ich habe noch bei folngender aufgabe ein problem.
>
> wir betrachten die drehung [mm]\delta[/mm] : [mm]R^{3} \to R^{3},[/mm] die
Du meinst sicher den [mm] \IR^2
[/mm]
> den vektor x = [mm]\vektor{1 \\ \wurzel{3}}[/mm] auf den vektor y =
> [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm] abbildet
>
> a) geben sie die matrix m an, die der abbildung [mm]\delta[/mm]
> hinsichtlich der kanonischen basis zugeordnet ist
>
> b) handelt es sich bei der basis
>
> B = {b1,b2} = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> um eine orthonormalbasisi des [mm]R^{3}?[/mm] wie lauten die
> koordinaten der vektoren x und y hinsichtlich B?
>
> c) wie lautet die matrix M* die der abbilidung [mm]\delta[/mm]
> hinsichtlich B zugeordnet ist?
> zu a)
> wie sieht die matrix M aus? muss ich da nur die beiden
> vektoren zusammenschreiben und invertieren ?
Eine Drehung im [mm] \IR^22 [/mm] wird beschrieben durch eine Matrix der Gestalt
$ [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} [/mm] $
Mit Hilfe der Vektoren x = $ [mm] \vektor{1 \\ \wurzel{3}} [/mm] $ und y = $ [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm] $ kannst Du [mm] \alpha [/mm] bestimmen !
FRED
>
> zu b)
>
> b1 ist normiert oder? b2 ist nicht normiert! und die
> koordininaten bekomme ich doch einfach mit M*x bzw M*y
> oder?
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> zu c)
>
> ist das M* = [mm]M^{-1}*B[/mm]
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>
> vielen dank im voraus :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
also muss ich jetzt
$ [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} [/mm] $ mit x und danach mit y mutliplizieren und erhalte somit die matrix M?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> also muss ich jetzt
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> [mm]\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}[/mm]
> mit x und danach mit y mutliplizieren und erhalte somit die
> matrix M?
Nein. Sei [mm]M = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}[/mm]
Es ist doch $ M*x=y$, also erhälst Du
$cos [mm] \alpha -\wurzel{3}sin \alpha= [/mm] 0$ und $sin [mm] \alpha [/mm] + [mm] \wurzel{3}cos \alpha [/mm] =2$
Kannst Du nun [mm] \alpha [/mm] berechnen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
komme nich so ganz klar, habe [mm] -\bruch{sin a}{cos^{2}a} [/mm] = [mm] -\wurzel{3}+2 [/mm] raus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> komme nich so ganz klar, habe [mm]-\bruch{sin a}{cos^{2}a}[/mm] =
> [mm]-\wurzel{3}+2[/mm] raus
Was machst Du da ?
$ cos [mm] \alpha -\wurzel{3}sin \alpha= [/mm] 0 $ und $ sin [mm] \alpha [/mm] + [mm] \wurzel{3}cos \alpha [/mm] =2 $
Aus der ersten Gl. folgt: $ cos [mm] \alpha =\wurzel{3}sin \alpha [/mm] $ . Wenn Du das in die 2. Gl. einsetzt erhälst Du
$sin [mm] \alpha [/mm] = 1/2$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
meins war ja völliger quatsch, hab gepennt beim einsetzen....aber auf deine cosa = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] komm ich trotzdem nicht. ich hab immer [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus.
gruß
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Hallo mo1985,
> meins war ja völliger quatsch, hab gepennt beim
> einsetzen....aber auf deine cosa = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da steht doch [mm] $\red{\sin}(\alpha)=\frac{1}{2}$
[/mm]
> komm ich trotzdem nicht. ich hab immer [mm]\bruch{1}{3}[/mm] raus.
Dann rechne mal vor. Fred hat dir die Gleichungen hingeschrieben und auch, was zu tun ist.
Rechne das ausführlich hier vor und wir finden den Fehler ...
>
> gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
meinte auch sin a = 0,5 aber glaube habs raus hoffe der weg ist richtig und am ende nich geraten ;)
also 1.gl in 2.gl eingesetzt da steht dann
sin a [mm] +\wurzel{3}*\wurzel{3}*sin [/mm] a =2
sin a +3sin a = 2
4sin a = 2 [mm] \gdw [/mm] sin a = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> meinte auch sin a = 0,5 aber glaube habs raus hoffe der weg
> ist richtig und am ende nich geraten ;)
>
> also 1.gl in 2.gl eingesetzt da steht dann
>
> sin a [mm]+\wurzel{3}*\wurzel{3}*sin[/mm] a =2
> sin a +3sin a = 2
> 4sin a = 2 [mm]\gdw[/mm] sin a = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, da ist nix geraten, sondern schön umgeformt.
Das deckt sich ja auch mit Freds Ergebnis ...
Also bestens
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
ok...:)
also sieht dann meine matrix M so aus?
M = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} }
[/mm]
oder muss ich dann noch weiterrechnen?
kannst du mir auch sagen ob meine ansätze zu b) und c) richtig sind?
gruß
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Hallo,
> ok...:)
>
> also sieht dann meine matrix M so aus?
>
> M = [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} }[/mm]
>
> oder muss ich dann noch weiterrechnen?
Wieso steht jetzt überall [mm] \frac{1}{2} [/mm] in der Matrix?
Es ist doch
$M= [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} [/mm] $,
und du weißt nun [mm] $\sin(\alpha) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$,
[/mm]
also zum Beispiel [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \pi/6 \Rightarrow \cos(\alpha) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\sqrt{3}$.
[/mm]
Nun alles in M einsetzen!
> kannst du mir auch sagen ob meine ansätze zu b) und c)
> richtig sind?
Bei b):
Ja, es handelt sich nicht um eine Orthonormalbasis (die Vektoren stehen bzgl. des Standardskalarprodukts auch nicht senkrecht aufeinander).
Dein Ansatz zum Bestimmen von den Koordinatenvektoren von x und y bzgl. B ist falsch. Die Matrix M bzw. die lineare Abbildung [mm] \delta [/mm] hat doch damit überhaupt nichts zu tun.
Du sollst x und y als Koordinatenvektoren bzgl. der Basis B = [mm] (b_{1},b_{2}) [/mm] aufschreiben, also [mm] \alpha, \beta [/mm] finden so dass
$x = [mm] \alpha*b_{1} [/mm] + [mm] \beta*b_{2}$. [/mm] Dann ist [mm] \vektor{\alpha\\ \beta} [/mm] der Koordinatenvektor von x bzgl. B. Analog für y.
Zu c):
Du sollst einen Basiswechsel durchführen!
Du hast gegeben: Deine Matrix M als Abbildungsmatrix von [mm] \delta [/mm] bzgl. der kanonischen Basis [mm] (e_{1},e_{2}) [/mm] des [mm] \IR^{2}. [/mm] Dann ist die Abbildungsmatrix von [mm] \delta [/mm] bzgl. der Basis B:
[mm] $M^{*} [/mm] = [mm] T_{B}^{(e_{1},e_{2})}*M*T_{(e_{1},e_{2})}^{B}$
[/mm]
Zu bestimmen sind also nur noch die Transformationsmatrizen T.
Guck mal in deinem Hefter nach, wie man das macht!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Di 09.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
danke :) habs noch rausbekommen...
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