Abbildung mehrerer Variablen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:13 Mo 23.06.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | a) Es sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x_1 * x_2^2}{x_1^2 + x_2^2}, & \mbox{, } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{, } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
zeige das f stetig ist und fuer jedes x [mm] \in \IR^2 [/mm] und jedes y [mm] \in \IR^2 [/mm]
[mm] g(x,y)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+ty) - f(x)}{t}
[/mm]
existiert, aber das die Abbildung y [mm] \mapsto [/mm] g(0,y) nicht linear ist (sodass f im Punkt 0 nicht differenzierbar sein kann).
b) Es sei f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x_1^3 * x_2}{x_1^4 + x_2^2}, & \mbox{, } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{, } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass f stetig ist und dass der Limes g(x,y) fuer jedes [mm] x\in\IR^2 [/mm] und jedes [mm] y\in\IR^2 [/mm] existiert und dass y [mm] \mapsto [/mm] g(x,y) fuer jedes [mm] x\inIR^2 [/mm] linear ist, aber f im Punkt 0 nicht differenzierbar ist. |
Ok, also ich weiss ist ne Horroraufgabe, aber viell kann mir ja trotzdem jemand helfen. Also ich habe folgende Sachen ueberlegt.
zur a)
Zuerst ist f ausserhalb des Nullpunktes stetig, weil es dort aus einer Komposition rationaler stetiger Funktionen besteht.
Am Nullpunkt könnte man normalerweise Polarkoordinaten einsetzten, aber da weiss ich nicht ob das hier geht, weil man ja nur 2 x hat und kein y.Aber falls das doch ginge, wuerde ich das viel lieber damit machen, weil ich das wenigstens verstehe.
Meine andere Möglichkeit wäre eine Abschätzung z.B
[mm] |f(x_1, x_2) [/mm] - f(0,0)| = [mm] |f(x_1,x_2)| [/mm] = [mm] \bruch{|x_1^2 * x_2|}{x_1^2 + x_2^2} [/mm] = [mm] \bruch{|x_1| * |x_1 * x_2|}{x_1^2 + x_2^2} \le \bruch{1}{2} \bruch{|x_1| * (x_1^2 * x_2^2)}{x_1^2 + x_2^2} [/mm] = [mm] \bruch{|x_1|}{2} \to [/mm] 0
nur hier versteh ich nicht so ganz warum das gegebn null geht.
Oder was man auch noch machen könnte, mann könnte einfach fuer alle x = 1/n einsetzen, aber ob das hier ausreicht....
zum zweiten Teil,
ich dachte man muesste einfach nur um g auszurechen in f die Punkte einsetzten, die dort angegeben sind. Nur dann kriege ich eine super miese Gleuchung raus, die ich nicht so richtig lösen kann..... deswegen gibt es da noch einen einfacheren Weg.... viell wieder mit Polarkoordinaten...
zur b)
Da habe ich noch keine Idee, aber ich dachte mir, dass wenn ich die a hinkriege, dass die b quasi genauso geht...
Es wäre echt super nett wenn mir jemand helfen könnte....
lg xxxx
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> a) Es sei f : [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch
Ich glaube aufgrund des weiteren Aufgabentextes sicher schliessen zu können, dass hier eigentlich [mm] $f:\; \IR^2\to \IR$ [/mm] gemeint ist.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x_1 * x_2^2}{x_1^2 + x_2^2}, & \mbox{, } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{, } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> zeige das f stetig ist und fuer jedes x [mm]\in \IR^2[/mm] und jedes
> y [mm]\in \IR^2[/mm]
>
> g(x,y) = [mm]\limes_{t\rightarrow\0} \bruch{f(x+ty) - f(x)}{t}[/mm]
>
> existiert, aber das die Abbildung y [mm]\mapsto[/mm] g(0,y) nicht
> linear ist (sodass f im Punkt 0 nicht differenzierbar sein
> kann).
>
> b) Es sei f : [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] definiert durch
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x_1^3 * x_2}{x_1^4 + x_2^2}, & \mbox{, } x \not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{, } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Zeige, dass f stetig ist und dass der Limes g(x,y) fuer
> jedes x [mm]\in \IR^2[/mm] und jedes y [mm]\in IR^2[/mm] existiert und dass y
> [mm]\mapsto[/mm] g(x,y) fuer jedes x [mm]\in IR^2[/mm] linear ist, aber f im
> Punkt 0 nicht differenzierbar ist.
> Ok, also ich weiss ist ne Horroraufgabe, aber viell kann
> mir ja trotzdem jemand helfen. Also ich habe folgende
> Sachen ueberlegt.
>
> zur a)
> Zuerst ist f ausserhalb des Nullpunktes stetig, weil es
> dort aus einer Komposition rationaler stetiger Funktionen
> besteht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Am Nullpunkt könnte man normalerweise Polarkoordinaten
> einsetzten, aber da weiss ich nicht ob das hier geht, weil
> man ja nur 2 x hat und kein y.
Die erste Koordinate des (2dim vektoriellen) Argumentes von $f$ wird hier eben mit [mm] $x_1$ [/mm] (nicht $x$) und die zweite mit [mm] $x_2$ [/mm] (nicht $y$) bezeichnet: a rose by any other name would smell as sweet. - Das heisst: der Name tut hier nichts zur Sache. Wenn Du Polarkoordiaten einführst, dann etwa mittels [mm] $x_1 [/mm] := [mm] r\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] := [mm] r\sin(\varphi)$. [/mm] Wobei [mm] $r\geq [/mm] 0$.
> Aber falls das doch ginge,
> wuerde ich das viel lieber damit machen, weil ich das
> wenigstens verstehe.
Ja, das geht auch sehr gut:
[mm]f(x_1,x_2)=\frac{r\cos(\varphi)\left(r\sin(\varphi)\right)^2}{\big(r\cos(\varphi)\big)^2+\big(r\sin(\varphi)\big)^2}=\cdots=r\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)[/mm]
Hier sieht man gleich, dass $f$ für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ (unabhägig von [mm] $\varphi$) [/mm] gegen $0$ geht. Also ist $f$ in $(0,0)$ stetig.
>
> Meine andere Möglichkeit wäre eine Abschätzung z.B
>
> [mm]|f(x_1, x_2)[/mm] - f(0,0)| = [mm]|f(x_1,x_2)|[/mm] = [mm]\bruch{|x_1^2 * x_2|}{x_1^2 + x_2^2}[/mm]
Stimmt schon irgendwie nicht mehr. Nimm doch lieber Polarkoordiaten: das geht wie Butter...
> = [mm]\bruch{|x_1| * |x_1 * x_2|}{x_1^2 + x_2^2} \le \bruch{1}{2} \bruch{|x_1| * (x_1^2 * x_2^2)}{x_1^2 + x_2^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{|x_1|}{2} \to[/mm] 0
>
> nur hier versteh ich nicht so ganz warum das gegebn null
> geht.
Es ist ohnehin in den Details nicht richtig, also was soll's...
> Oder was man auch noch machen könnte, mann könnte einfach
> fuer alle x = 1/n einsetzen, aber ob das hier
> ausreicht....
Nee, das geht nicht: bloss zu zeigen, dass $f$ für eine spezielle, gegen $(0,0)$ konvergierende Folge gegen $0$ geht, um zu zeigen, dass $f$ in $(0,0)$ stetig ist. Du könntest allenfalls die Stetigkeit von $f$ zu widerlegen versuchen, indem Du eine gegen $(0,0)$ konvergente Folge angibst, deren Bilder unter $f$ nicht gegen $f(0)=0$ konvergieren (wäre hier aber vergebliche Müh, da, wie wir oben schon gesehen haben, $f$ in $(0,0)$ stetig ist).
>
> zum zweiten Teil,
> ich dachte man muesste einfach nur um g auszurechen in f
> die Punkte einsetzten, die dort angegeben sind. Nur dann
> kriege ich eine super miese Gleuchung raus, die ich nicht
> so richtig lösen kann..... deswegen gibt es da noch einen
> einfacheren Weg.... viell wieder mit Polarkoordinaten...
Wenn $x=(0,0)$ ist kann man dies leicht machen, aber für [mm] $x\neq [/mm] (0,0)$ sieht es nicht so hübsch aus. Wenn [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2)$ [/mm] ist, dann müsste man
[mm]g(x,y)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{(x_1+ty_1)(x_2+ty_2)^2}{(x_1+ty_1)^2+(x_2+ty_2)^2}-\frac{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}}{t}[/mm]
berechnen. Um die Existenz dieses Limes für [mm] $(x_1,x_2)\neq [/mm] (0,0)$ zu zeigen, genügt es schon zu zeigen, dass sich die Division durch $t$ wegkürzen lässt und im resultierenden Nenner ein Term [mm] $\neq [/mm] 0$ steht. Dass der resultierende Nenner [mm] $\big((x_1+ty_1)^2+(x_2+ty_2)^2\big)\cdot\big(x_1^2+x_2^2\big)$ [/mm] (nach Herauskürzen von $t$) für genügend kleines $t$ und unter der Voraussetzung [mm] $(x_1,x_2)\neq [/mm] (0,0)$ gegen [mm] $(x_1^2+x_2^2)^2 \neq [/mm] 0$ konvergiert, erkennt man ja leicht.
Die Detailstruktur des Zählers braucht man aber nicht zu kennen.
Für den Fall $g((0,0),y)$ wäre eventuell die Verwendung von Polarkoordinaten einen Versuch wert, man kann aber auch so rechnen:
[mm]g((0,0),y)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{ty_1 \cdot (ty_2)^2}{(ty_1)^2+(ty_2)^2}-0}{t}=\ldots[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mo 23.06.2008 | | Autor: | xxxx |
ok super, jetzt weiss ich wie ich es machen kann....
vielen Lieben Dank 
lg xxxx
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Hallo Somebody,
> > Aber falls das doch ginge,
> > wuerde ich das viel lieber damit machen, weil ich das
> > wenigstens verstehe.
>
> Ja, das geht auch sehr gut:
>
> [mm]f(x_1,x_2)=\frac{r\cos(\varphi)\left(r\sin(\varphi)\right)^2}{\big(r\cos(\varphi)\big)^2+\big(r\sin(\varphi)\big)^2}=\cdots=r\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)[/mm]
> Hier sieht man gleich, dass [mm]f[/mm] für [mm]r\rightarrow 0+[/mm]
> (unabhägig von [mm]\varphi[/mm]) gegen [mm]0[/mm] geht. Also ist [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm]
> stetig.
>
Hier meine Frage 
Ich dachte auch immer, dass das mit Polarkoordinaten ganz gut geht, aber nun sind mir doch Zweifel gekommen.
Ich muss mich doch $(0,0)$ auf beliebigem Wege nähern, beispielsweise spiralförmig oder irgendwie im Zick-Zack.
M.E kann man sich mit Polarkoordinaten allenfalls auf Geraden nähern, man lässt ja die Länge gegen 0 gehen ...
Ich hatte nämlich das Bsp. [mm] $f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}$
[/mm]
Wenn man da Polarkoordis drauf losjagt, scheint alles wunderbar zu klappen, das geht schön gegen $0=f(0,0)$, aber wenn man die Folge [mm] $a_n=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] nimmt und sich [mm] $f(a_n)$ [/mm] ansieht, so strebt das gegen [mm] $\frac{1}{2}\neq [/mm] 0$
Geht das nun also mit Polarkoordis oder nicht?
Hoffe, du oder jemand anderes kann meinen Zweifel aus der Welt räumen
Danke vorab
schachuzipus
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> Hallo Somebody,
>
>
>
> > > Aber falls das doch ginge,
> > > wuerde ich das viel lieber damit machen, weil ich das
> > > wenigstens verstehe.
> >
> > Ja, das geht auch sehr gut:
> >
> >
> [mm]f(x_1,x_2)=\frac{r\cos(\varphi)\left(r\sin(\varphi)\right)^2}{\big(r\cos(\varphi)\big)^2+\big(r\sin(\varphi)\big)^2}=\cdots=r\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)[/mm]
> > Hier sieht man gleich, dass [mm]f[/mm] für [mm]r\rightarrow 0+[/mm]
> > (unabhägig von [mm]\varphi[/mm]) gegen [mm]0[/mm] geht. Also ist [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm]
> > stetig.
> >
>
> Hier meine Frage
>
> Ich dachte auch immer, dass das mit Polarkoordinaten ganz
> gut geht, aber nun sind mir doch Zweifel gekommen.
>
> Ich muss mich doch [mm](0,0)[/mm] auf beliebigem Wege nähern,
> beispielsweise spiralförmig oder irgendwie im Zick-Zack.
>
> M.E kann man sich mit Polarkoordinaten allenfalls auf
> Geraden nähern,
> man lässt ja die Länge gegen 0 gehen ...
Nein, dies ist nicht richtig. Deshalb habe ich ausdrücklich geschrieben, dass der Limes für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ unabhängig von [mm] $\varphi$ [/mm] gegen $f(0,0)=0$ geht. Bei der Annäherung an $(0,0)$, die wir mittels Polarkoordinaten beschreiben, muss natürlich berücksichtigt werden, dass [mm] $\varphi$ [/mm] bei dieser Näherung an $(0,0)$ beliebig wild herumirren kann.
>
> Ich hatte nämlich das Bsp. [mm]f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Wenn man da Polarkoordis drauf losjagt, scheint alles
> wunderbar zu klappen, das geht schön gegen [mm]0=f(0,0)[/mm],
Wenn Deine Funktion tatsächlich in $(0,0)$ nicht stetig ist, dann hast Du bei Deiner Überlegung mit Polarkoordinaten notwendigerweise etwas falsch gemacht...
> aber
> wenn man die Folge
> [mm]a_n=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] nimmt
> und sich [mm]f(a_n)[/mm] ansieht, so strebt das gegen
> [mm]\frac{1}{2}\neq 0[/mm]
Falls dies richtig ist, dann ist Deine Funktion in $(0,0)$ natürlich nicht stetig.
>
> Geht das nun also mit Polarkoordis oder nicht?
Man kann es in Polarkoordinaten hinschreiben, so:
[mm]f(x,y)=\frac{r\cos\varphi\cdot r^2\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}=\frac{r\cos\varphi\cdot \sin^2\varphi}{\cos^2\varphi+r^2\sin^4\varphi}[/mm]
Wie Du siehst, kann man nicht behaupten, dass der Limes dieses Ausdrucks für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ unabhängig von [mm] $\varphi$ [/mm] gleich $0$ sei. Es kann nämlich sein, dass auch der [mm] $\cos\varphi$ [/mm] geeignet schnell gegen $0$ geht, und dann haben wir ein Problem. Polarkoodinaten beantworten die Frage nach dem Grenzwert von $f(x,y)$ für [mm] $(x,y)\rightarrow [/mm] (0,0)$ in einem solchen Falle nicht im ersten Anlauf: geben uns aber einen Hinweis darauf, wie sich ein geeignetes Gegenbeispiel für den Limes $0$ konstruieren lassen sollte. Ein Gegenbeispiel müsste die Eigenschaft haben, dass der [mm] $\cos\varphi$ [/mm] bei Annäherung an $(0,0)$ genügend schnell gegen $0$ geht.
Und so hat ja auch Dein Gegenbeispiel die offensichtliche Eigenschaft, dass, wenn [mm] $\frac{1}{n^2}=r\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n}=r\sin(\varphi)$ [/mm] ist, der [mm] $\cos(\varphi)$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $0$ geht. .. Siehe da!
Kurz: Polarkoodinaten liefern uns im Falle von Stetigkeit sogleich die richtige Antwort. Im Falle von Unstetigkeit geben sie uns immerhin einen Hinweis darauf, wie ein konkretes Gegenbeispiel in etwa aussehen müsste.
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Hallo nochmal,
besten Dank erstmal, aber ich bin zu dumm und muss nochmal nachfragen...
> > Ich muss mich doch [mm](0,0)[/mm] auf beliebigem Wege nähern,
> > beispielsweise spiralförmig oder irgendwie im Zick-Zack.
> >
> > M.E kann man sich mit Polarkoordinaten allenfalls auf
> > Geraden nähern,
> > man lässt ja die Länge gegen 0 gehen ...
>
> Nein, dies ist nicht richtig. Deshalb habe ich ausdrücklich
> geschrieben, dass der Limes für [mm]r\rightarrow 0+[/mm] unabhängig
> von [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)=0[/mm] geht. Bei der Annäherung an
> [mm](0,0)[/mm], die wir mittels Polarkoordinaten beschreiben, muss
> natürlich berücksichtigt werden, dass [mm]\varphi[/mm] bei dieser
> Näherung an [mm](0,0)[/mm] beliebig wild herumirren kann.
>
> >
> > Ich hatte nämlich das Bsp. [mm]f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Wenn man da Polarkoordis drauf losjagt, scheint alles
> > wunderbar zu klappen, das geht schön gegen [mm]0=f(0,0)[/mm],
>
> Wenn Deine Funktion tatsächlich in [mm](0,0)[/mm] nicht stetig ist,
> dann hast Du bei Deiner Überlegung mit Polarkoordinaten
> notwendigerweise etwas falsch gemacht...
>
> > aber
> > wenn man die Folge
> > [mm]a_n=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] nimmt
> > und sich [mm]f(a_n)[/mm] ansieht, so strebt das gegen
> > [mm]\frac{1}{2}\neq 0[/mm]
>
> Falls dies richtig ist, dann ist Deine Funktion in [mm](0,0)[/mm]
> natürlich nicht stetig.
>
> >
> > Geht das nun also mit Polarkoordis oder nicht?
>
> Man kann es in Polarkoordinaten hinschreiben, so:
>
> [mm]f(x,y)=\frac{r\cos\varphi\cdot r^2\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}=\frac{r\cos\varphi\cdot \sin^2\varphi}{\cos^2\varphi+r^2\sin^4\varphi}[/mm]
Ja, genau das hatte ich auch dastehen...
>
> Wie Du siehst
Hmm... tue ich (immer noch) nicht ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
> , kann man nicht behaupten, dass der Limes
> dieses Ausdrucks für [mm]r\rightarrow 0+[/mm] unabhängig von [mm]\varphi[/mm]
> gleich [mm]0[/mm] sei. Es kann nämlich sein, dass auch der
> [mm]\cos\varphi[/mm] geeignet schnell gegen [mm]0[/mm] geht, und dann haben
> wir ein Problem.
Was genau meinst du mit geeignet schnell? Schneller als r gegen 0 geht?
Dann hätten wir aber im Zähler 0 (im Nenner irgendwas [mm] \neq [/mm] 0) stehen und [mm] \lim\limits_{r\downarrow 0}0=0 [/mm] ?
> Polarkoodinaten beantworten die Frage nach
> dem Grenzwert von [mm]f(x,y)[/mm] für [mm](x,y)\rightarrow (0,0)[/mm] in
> einem solchen Falle nicht im ersten Anlauf: geben uns aber
> einen Hinweis darauf, wie sich ein geeignetes Gegenbeispiel
> für den Limes [mm]0[/mm] konstruieren lassen sollte. Ein
> Gegenbeispiel müsste die Eigenschaft haben, dass der
> [mm]\cos\varphi[/mm] bei Annäherung an [mm](0,0)[/mm] genügend schnell gegen
> [mm]0[/mm] geht.
>
> Und so hat ja auch Dein Gegenbeispiel die offensichtliche
naja, ich find's leider nicht so offensichtlich ...
> Eigenschaft, dass, wenn [mm]\frac{1}{n^2}=r\cos(\varphi)[/mm] und
> [mm]\frac{1}{n}=r\sin(\varphi)[/mm] ist, der [mm]\cos(\varphi)[/mm] für
> [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen [mm]0[/mm] geht. .. Siehe da!
> Kurz: Polarkoodinaten liefern uns im Falle von Stetigkeit
> sogleich die richtige Antwort. Im Falle von Unstetigkeit
> geben sie uns immerhin einen Hinweis darauf, wie ein
> konkretes Gegenbeispiel in etwa aussehen müsste.
Könntest du bitte nochmal kurz präzisieren, wie du das genau meinst mit [mm] "\cos(\phi) [/mm] nähert sich 0 geeignet schnell" und wie du das dem Ausdruck oben ansiehst.
Ich hab's noch nicht kapiert - würde es aber gerne
Danke vielmals
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
>
> besten Dank erstmal, aber ich bin zu dumm und muss nochmal
> nachfragen...
>
>
> > > Ich muss mich doch [mm](0,0)[/mm] auf beliebigem Wege nähern,
> > > beispielsweise spiralförmig oder irgendwie im Zick-Zack.
> > >
> > > M.E kann man sich mit Polarkoordinaten allenfalls auf
> > > Geraden nähern,
> > > man lässt ja die Länge gegen 0 gehen ...
> >
> > Nein, dies ist nicht richtig. Deshalb habe ich ausdrücklich
> > geschrieben, dass der Limes für [mm]r\rightarrow 0+[/mm] unabhängig
> > von [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)=0[/mm] geht. Bei der Annäherung an
> > [mm](0,0)[/mm], die wir mittels Polarkoordinaten beschreiben, muss
> > natürlich berücksichtigt werden, dass [mm]\varphi[/mm] bei dieser
> > Näherung an [mm](0,0)[/mm] beliebig wild herumirren kann.
> >
> > >
> > > Ich hatte nämlich das Bsp. [mm]f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wenn man da Polarkoordis drauf losjagt, scheint alles
> > > wunderbar zu klappen, das geht schön gegen [mm]0=f(0,0)[/mm],
> >
> > Wenn Deine Funktion tatsächlich in [mm](0,0)[/mm] nicht stetig ist,
> > dann hast Du bei Deiner Überlegung mit Polarkoordinaten
> > notwendigerweise etwas falsch gemacht...
> >
> > > aber
> > > wenn man die Folge
> > > [mm]a_n=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] nimmt
> > > und sich [mm]f(a_n)[/mm] ansieht, so strebt das gegen
> > > [mm]\frac{1}{2}\neq 0[/mm]
> >
> > Falls dies richtig ist, dann ist Deine Funktion in [mm](0,0)[/mm]
> > natürlich nicht stetig.
> >
> > >
> > > Geht das nun also mit Polarkoordis oder nicht?
> >
> > Man kann es in Polarkoordinaten hinschreiben, so:
> >
> > [mm]f(x,y)=\frac{r\cos\varphi\cdot r^2\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}=\frac{r\cos\varphi\cdot \sin^2\varphi}{\cos^2\varphi+r^2\sin^4\varphi}[/mm]
>
> Ja, genau das hatte ich auch dastehen...
>
> >
> > Wie Du siehst
>
> Hmm... tue ich (immer noch) nicht
>
> > , kann man nicht behaupten, dass der Limes
> > dieses Ausdrucks für [mm]r\rightarrow 0+[/mm] unabhängig von [mm]\varphi[/mm]
> > gleich [mm]0[/mm] sei.
Dann beweise diese Behauptung doch, wenn Du nicht siehst, weshalb man dies nicht (ohne weiteres) behaupten kann?
Ich muss dies ja nicht beweisen: was ich hier geschrieben habe, ist einfach nur, wie ich überlege, wenn ich diesen Ausdruck anschaue.
Ich denke mir: ok, ich lasse [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ gehen, aber [mm] $\varphi$ [/mm] darf sich dabei beliebig blödsinnig verhalten. Sehe ich, dass dennoch der Grenzwert immer der selbe ist (unabhängig davon, wie blödsinnig sich [mm] $\varphi$ [/mm] bei einer solchen Annäherung von $r$ an $0$ verhalten hat)? - Also ich sehe es nicht: das genügt, für die Beschreibung meines Lösungsverhaltens.
Grund: Ich sehe zwar, dass der Zähler mit [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ gegen $0$ geht, aber ich kann nicht ausschliessen, dass auch der Nenner gegen $0$ geht: und dann geht der Wert des Bruchterms eventuell nicht gegen $0$. Der Nenner geht aber für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ nur dann ebenfalls gegen $0$, wenn [mm] $\cos(\varphi)$ [/mm] schon von Anfang an konstant $0$ ist (dann wäre aber der Zähler konstant $0$), oder wenn der [mm] $\cos(\varphi)$ [/mm] zwar nicht $0$ ist, aber sich parallel zu [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ ebenfalls genügend schnell gegen $0$ bewegt. Wie "genügend schnell" in einem konkreten Gegenbeispiel für die Konvergenz zu wählen ist, gehört zur daran anschliessenden Tüftelphase.
Beim Limes von Teilaufgabe a) hatten wir hingegen die Form [mm] $f(x,y)=r\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)$. [/mm] Bei diesem Term siehst Du doch sicher auch, dass es, wenn wir [mm] $r\rightarrow [/mm] 0+$ gehen lassen, auf das Verhalten von [mm] $\varphi$ [/mm] überhaupt nicht ankommt: der Limes ist so oder so gleich $0$.
> Es kann nämlich sein, dass auch der
> > [mm]\cos\varphi[/mm] geeignet schnell gegen [mm]0[/mm] geht, und dann haben
> > wir ein Problem.
>
> Was genau meinst du mit geeignet schnell? Schneller als r
> gegen 0 geht?
So spezifisch will ich an diesem Punkt gar nicht sein. Hier hast Du eine heuristische Phase der Überlegung. Ich kann Dich ja auch fragen, weshalb Du gerade auf Dein doch sehr spezielles Gegenbeispiel [mm] $(1/n^2,1/n)$ [/mm] für Stetigkeit in $(0,0)$ von $f$ gekommen bist. Diese Frage dürftest Du auch auf relativ saloppe Weise - und nicht mittels Angabe eines rein deduktiven, ganz allgemein in solchen Fällen ein Gegenbeispiel liefernden Algorithmus beantworten.
>
> Dann hätten wir aber im Zähler 0 (im Nenner irgendwas [mm]\neq[/mm]
> 0) stehen und [mm]\lim\limits_{r\downarrow 0}0=0[/mm] ?
Nein, wie du ja an Deinem Gegenbeispiel siehst ist es so, dass, wenn man $r := [mm] \sqrt{1/n^4+1/n^2}$ [/mm] und [mm] $\cos(\varphi):=1/(n^2 [/mm] r)$ sowie [mm] $\sin(\varphi) [/mm] := 1/(n r)$ wählt, dann konvergieren die Bilder von [mm] $x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
>
> > Polarkoodinaten beantworten die Frage nach
> > dem Grenzwert von [mm]f(x,y)[/mm] für [mm](x,y)\rightarrow (0,0)[/mm] in
> > einem solchen Falle nicht im ersten Anlauf: geben uns aber
> > einen Hinweis darauf, wie sich ein geeignetes Gegenbeispiel
> > für den Limes [mm]0[/mm] konstruieren lassen sollte. Ein
> > Gegenbeispiel müsste die Eigenschaft haben, dass der
> > [mm]\cos\varphi[/mm] bei Annäherung an [mm](0,0)[/mm] genügend schnell gegen
> > [mm]0[/mm] geht.
> >
> > Und so hat ja auch Dein Gegenbeispiel die offensichtliche
>
> naja, ich find's leider nicht so offensichtlich ...
Weshalb nicht offensichtlich? Wenn Du ein rechwinkliges Dreieck mit einer Ankathete [mm] $x=1/n^2$ [/mm] und einer Gegenkathete $y=1/n$, also [mm] $\tan(\varphi)=y/x=n$ [/mm] hast, so geht doch für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] dieser Tangens gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und daher der Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] gegen [mm] $90^\circ$.
[/mm]
>
> > Eigenschaft, dass, wenn [mm]\frac{1}{n^2}=r\cos(\varphi)[/mm] und
> > [mm]\frac{1}{n}=r\sin(\varphi)[/mm] ist, der [mm]\cos(\varphi)[/mm] für
> > [mm]n\rightarrow \infty[/mm] gegen [mm]0[/mm] geht. .. Siehe da!
> > Kurz: Polarkoodinaten liefern uns im Falle von
> Stetigkeit
> > sogleich die richtige Antwort. Im Falle von Unstetigkeit
> > geben sie uns immerhin einen Hinweis darauf, wie ein
> > konkretes Gegenbeispiel in etwa aussehen müsste.
>
>
> Könntest du bitte nochmal kurz präzisieren, wie du das
> genau meinst mit [mm]"\cos(\phi)[/mm] nähert sich 0 geeignet
> schnell" und wie du das dem Ausdruck oben ansiehst.
>
> Ich hab's noch nicht kapiert - würde es aber gerne
Du kannst, wie gesagt, in einem solchen Falle keinen Algorithmus für das Finden eines Gegenbeispiels für Stetigkeit erwarten: es handelt sich bei diesen Bemerkungen um eine Schilderung einer blossen heuristischen Überlegung. Aber ohne solche heuristischen Überlegungen ist man in der Mathematik sehr schnell tot ... mausetot.
Heuristische Überlegungen nicht offenzulegen (d.h. sie zu verheimlichen) wirkt zwar unheimlich "präzise", aber es erschwert den Lernenden das Verständnis dessen, was in einem typischen Mathematikerkopf beim Lösen von solchen Problemen in etwa abläuft.
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Hallo Somebody,
nochmal herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung und sorry, dass ich hier mit nem anderen Bsp. dazwischengefunkt habe, aber es bot sich gerade an
LG und schönen Abend noch
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mo 23.06.2008 | | Autor: | xxxx |
noch eine letzte Frage, ich versteh nicht so ganz was du genau bei dem g(x,y) meinst... also irgendwie steh ich da auf dem schlauch, das mit den Polarkoordinaten hat uebrigens super geklappt
lg xxxx
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> noch eine letzte Frage, ich versteh nicht so ganz was du
> genau bei dem g(x,y) meinst... also irgendwie steh ich da
> auf dem schlauch,
Ist [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2)$, [/mm] dann ist, wenn man dies in die Definition von $g(x,y)$ für Teilaufgabe a) einsetzt, zunächst
[mm]g(x,y)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{(x_1+ty_1)(x_2+ty_2)^2}{(x_1+ty_1)^2+(x_2+ty_2)^2}-\frac{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}}{t}[/mm]
Wenn wir den Fall [mm] $x\neq [/mm] (0,0)$ anschauen, dann folgt ja [mm] $x_1^2+x_2^2\neq [/mm] 0$. Zudem scheint mir klar, dass man den in der Definition von $g(x,y)$ auftretenden Bruchterm in diesem Falle so umformen kann:
[mm]g(x,y)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\red{t\cdot}p(t)}{\red{t\cdot} \big((x_1+ty_1)^2+(x_2+ty_2)^2\big)\cdot \big(x_1^2+x_2^2\big)}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{p(t)}{\big((x_1+ty_1)^2+(x_2+ty_2)^2\big)\cdot \big(x_1^2+x_2^2\big)}=\frac{p(0)}{(x_1^2+x_2^2)^2}[/mm]
Wobei der Faktor $p(t)$ im Zähler ein blosses Polynom in $t$ ist, das für [mm] $t\rightarrow [/mm] 0$ jedenfalls nicht gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] gehen kann, sondern lediglich gegen eine Konstante. Vom Nenner können wir sagen, dass er für [mm] $t\rightarrow [/mm] 0$ gegen [mm] $(x_1^2+x_2^2)\cdot(x_1^2+x_2^2)$ [/mm] geht, also nach unserer Voraussetzung [mm] $(x_1,x_2)\neq [/mm] (0,0)$ geht der Nenner gegen eine Konstante [mm] $\neq [/mm] 0$. Somit existiert dieser Limes (sein Wert kann uns gänzlich schnuppe sein: wenn Du aber gerne viel schreibst, kannst Du seinen Wert leicht bestimmen).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mi 25.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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