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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:58 Mi 08.03.2006 | | Autor: | clown99 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, wenn f eine Abbildung einer unendlichen Menge Z in sich ist, so gilt nicht:
f ist injektiv <=> f ist surjektiv <=> f ist bijektiv |
Diese Aufgabenstellung hab ich aus dem Beutelspacher, doch versteh ich die Lösung für die Variante mit f ist surjektiv, aber nicht injektiv nicht.
Eine Abbildung von Z nach Z, die surjektiv, aber nicht injektiv ist, ist die folgendermaßen definierte Abbildung g: Sei z eine ganze Zahl mit n Dezimalstellen. Wenn n gerade ist, sei g(z) die Zahl aus den letzten n/2 Stellen; wenn n ungerade, sei g(z) die Zahl aus den letzten n/2 Stellen; wenn n ungerade ist, sei g(z) die Zahl aus den letzten (n+1)/2 Stellen. Dabei soll das Vorzeichen erhalten werden, d.h. wenn
z positiv ist, soll auch g(z) positiv sein; wenn z negativ ist, soll auch g(z) negativ sein.
Würde mich sehr über eine Erklärung, wie das nun gemeint ist, freuen. Wenn doch z eine ganze Zahl ist, gibt es doch keine Dezimalstellen. Die Dezimalstellen bilden doch jeweils eine ganze Zahl, dabei ist doch Urbildmenge = Bildmenge. Ich verstehs nicht :(.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Sei z eine ganze Zahl mit n Dezimalstellen
Das ist etwas unglücklich formuliert, ich glaube die meinen "... ganze Zahl mit n Stellen (also n Ziffern). Nachkommastellen gibts ja bei ganzen Zahlen nicht.
Also eine n-stellige ganze Zahl.
So, warum ist nun die Funktion surjektiv, aber nicht injektiv?
1. Surjektivität:
Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat
Das ist bei unserer Funktion der Fall. Jedes Element in Z hat min. 1 Urbild, da die Funktionswerte alle durch "Abschneiden" der ersten n/2 bzw. (n+1)/2 Ziffern des Urbildes entstehen.
2. Injektivität:
Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Das ist hier klar nicht gegeben. Gegenbeispiel:
g(4544) = 44
g(6544) = 44
Also ist g surjektiv, aber nicht injektiv.
A propos Aufgabenstellung, hast du da nicht einen Fehler:
wenn n ungerade, sei g(z) die Zahl aus den letzten n/2 Stellen; wenn n ungerade ist, sei g(z) die Zahl aus den letzten (n+1)/2 Stellen
Das erste "ungerade" will doch "gerade" heissen, nichwa?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mi 08.03.2006 | | Autor: | clown99 |
Vielen Dank, jetzt versteh ich es.
Stimmt, sollte gerade heissen :).
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