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| Aufgabe | Sei [mm] n\ge2 [/mm] aus den natürlichen Zahlen und M die Menge aller (n x n)-Matrizen über dem Körper K. Durch Spur(A):= [mm] \summe_{k=1}^{n} \alpha_{kk} [/mm] , wobei A:= [mm] (\alpha_{ij})_{(i,j) \in {1,...,n}} [/mm] sei, wird die Abbildung Spur: M [mm] \to [/mm] K definiert. Richtig oder falsch?
1.) Die Abbildung Spur ist K-linear
2.) Für alle A,B aus M gilt Spur(A*B) = Spur(A) * Spur(B) |
Hallo!
Also, ich bin der Meinung, dass 1.) richtig ist und 2.) falsch.
1.) habe ich für mich anhand n=2 bewiesen und für 2.) habe ich auch für n=2 ein Gegenbeispiel:
A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] B:= [mm] \pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }
[/mm]
Spur(A*B)= [mm] \pmat{ 19 & 22 \\ 43 & 50 } \mapsto [/mm] 69
Spur(A) = 5 Spur(B)= 13 [mm] 5*13=65\not=69 [/mm]
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob das richtig ist.
MFG
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Hallo Michael,
> Sei [mm]n\ge2[/mm] aus den natürlichen Zahlen und M die Menge aller
> (n x n)-Matrizen über dem Körper K. Durch Spur(A):= [mm]\summe_{k=1}^{n} \alpha_{kk}[/mm] , wobei A:= [mm](\alpha_{ij})_{(i,j) \in {1,...,n}}[/mm] sei, wird die Abbildung Spur: M [mm]\to[/mm] K definiert. Richtig oder falsch?
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> 1.) Die Abbildung Spur ist K-linear
> 2.) Für alle A,B aus M gilt Spur(A*B) = Spur(A) * Spur(B)
> Hallo!
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> Also, ich bin der Meinung, dass 1.) richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ist und 2.) falsch.
> 1.) habe ich für mich anhand n=2 bewiesen
Hmm, das reicht ja nicht, du musst es für allg. n beweisen.
Das ist aber nicht schwer, nimm dir zwei [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen [mm] $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ [/mm] und [mm] $B=(b_{ij})_{1\le i,j\le n}$ [/mm] her.
Dann ist [mm] $A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{1\le i,j\le n}$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Spur}(A+B)=...$
[/mm]
Und für bel. [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] ist [mm] $\lambda\cdot{}A=(\lambda\cdot{}a_{ij})_{1\le i,j\le n}$, [/mm] also [mm] $\operatorname{Spur}(\lambda\cdot{}A)=....$
[/mm]
> und für 2.) habe ich auch für n=2 ein Gegenbeispiel:
> A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] B:= [mm]\pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }[/mm]
>
> Spur(A*B)= [mm]\pmat{ 19 & 22 \\ 43 & 50 } \mapsto[/mm] 69
> Spur(A) = 5 Spur(B)= 13 [mm]5*13=65\not=69[/mm]
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> Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob das richtig
> ist.
> MFG
Gruß
schachuzipus
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Hallo!
Ja, jetzt habe ich den Beweis für n beliebig auch geschafft.
Vielen Dank!
MFG
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