Abbildung Potenzmenge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien E eine Menge und A, B [mm] \subset [/mm] E Teilmengen. Mit
[mm] \mathcal{P}(E) [/mm] := {X Menge | X [mm] \subset [/mm] E}
bezeichnet man die Potenzmenge von E. Eine Abbildung auf [mm] \mathcal{P}(E) [/mm] wird durch
f: [mm] \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(A) [/mm] x [mm] \mathcal{P}(B), [/mm] X [mm] \mapsto [/mm] (X [mm] \cap [/mm] A, X [mm] \cap [/mm] B)
definiert. Zeigen Sie:
a) f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = E
b) f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] |
Hallo,
ich habe überhaupt keine Ahnung, was man hier machen muss. Wir haben in der Vorlesung keine Potenzmengen eingeführt und in der Übung nur kurz die Potenzmenge definiert. Aber sonst haben wir nichts dazu gemacht. Kann mir jemand bitte helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Seien E eine Menge und A, B [mm]\subset[/mm] E Teilmengen. Mit
> [mm]\mathcal{P}(E)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {X Menge | X [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
E}
> bezeichnet man die Potenzmenge von E. Eine Abbildung auf
> [mm]\mathcal{P}(E)[/mm] wird durch
> f: [mm]\mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(A)[/mm] x [mm]\mathcal{P}(B),[/mm] X
> [mm]\mapsto[/mm] (X [mm]\cap[/mm] A, X [mm]\cap[/mm] B)
> definiert. Zeigen Sie:
> a) f ist injektiv [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cup[/mm] B = E
> b) f ist surjektiv [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
die Potenzmenge [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] einer Menge M ist die menge, die alle Teilmengen v. M enthält, das hast Du bereits gelernt.
Du hast hier also eine Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind - etwas ungewohnt am Anfang.
Ich gehe davon aus, daß Du weißt, was injektiv und surjektiv bedeutet, über die Umsetzung im vorliegenden Fall können wir ggf.sprchen.
Gucken wir uns nun die Abbildung f an.
Was macht die?
Wir haben eine Grundmenge E und zwei Teilmengen A,B.
Die Funktion f bildet ab aus der Menge [mm] \mathcal{P}(E) [/mm] in die Menge [mm] \mathcal{P}(A)[/mm] [/mm] x [mm][mm] \mathcal{P}(B).
[/mm]
Das bedeutet, daß die Elemente, auf welche wir f anwenden, Elemente aus [mm] \mathcal{P}(E) [/mm] sind, also irgendwelche Teilmengen v. E.
Wir erhalten dann als Ergebnis Paare von Mengen. Das ist ungewohnt. Zahlenpaare kennst Du, hier jedoch sind die Komponenten Mengen.
Aus welchen Mengen bestehen die Zahlenpaare?
Schauen wir die Abbildungsvorschrift an:
f(X):= (X [mm] \cap [/mm] A, X [mm] \cap [/mm] B) für alle X [mm] \in \mathcal{P}(E).
[/mm]
zu a)
Zwei Richtungen sind hier zu zeigen:
i) f injektiv ==> A [mm] \cup [/mm] B = E und
ii) A [mm] \cup [/mm] B = E ==> f injektiv
Vielleicht kommst Du nach diesen erläuternden Erklärungen schon ein Stückchen weiter.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Was stellt das x dar zwischen [mm] \mathcal{P}(A) [/mm] und [mm] \mathcal{P}(B)?
[/mm]
Also wenn A vereinigt B die Menge E ergeben, dann ist f injektiv.
Und wenn A geschnitten B die leere Menge ist, dann ist f surjektiv.
Aber wie schreibe ich das auf? Dann habe ich überall Zahlenpaare?
Injektiv bedeutet ja [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] E gilt: f(x) = f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x = y. Aber wie zeige ich das mit den Zahlenpaaren?
|
|
|
| |
|
> Was stellt das x dar zwischen [mm]\mathcal{P}(A)[/mm] und
> [mm]\mathcal{P}(B)?[/mm]
Hallo,
das sagt Dir, daß Du es mit Paaren (R,S) zu tun hast, von denen die erste Komponente R Element v. [mm] \mathcal{P}(A) [/mm] ist, also eine Teilmenge v. A und die zweite ein Element von [mm] \mathcal{P}(B).
[/mm]
>
> Also wenn A vereinigt B die Menge E ergeben, dann ist f
> injektiv.
Ja, das ist zu zeigen, und die umgekehrte Richtung auch, wie ich bereits schrieb.
>
> Und wenn A geschnitten B die leere Menge ist, dann ist f
> surjektiv.
Und umgekehrt.
>
> Aber wie schreibe ich das auf? Dann habe ich überall
> Zahlenpaare?
Zahlen nicht.
Das Ergebnis der Abbildung ist stets ein Mengen(!)paar.
> Injektiv bedeutet ja [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] E gilt: f(x) = f(y)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = y. Aber wie zeige ich das mit den
> Zahlenpaaren?
Du mußt dann zeigen, daß für beliebige X,Y [mm] \in [/mm] $ [mm] \mathcal{P}(E) [/mm] $ aus
f(X)=f(Y) , also [mm] (X\cap [/mm] A, [mm] X\cap B)=(Y\cap [/mm] A, [mm] Y\cap [/mm] B), folgt, daß X=Y.
Hierbei mußt Du berücksichtigen, daß Paare definitionsgemäß gleich sind, wenn ihre Komponenten übereinstimmen.
Schreib Di vor Beginn des Beweises genau auf, was Deine Voraussetzung ist, und was Du zeigen möchtest.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
