Abb(M,W) -> ein K-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:17 Sa 19.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo an Alle,
habe eine Lösung für folgende Aufgabe, bin mir aber nicht so sicher;
hoffe jemand schaut sich das an. DANKE!
Aufgabe Nr. 29(a)
http://www.math.uni-frankfurt.de/~rweidman/LA1/aufg8.pdf
(Ich weiss nicht ob das okay ist, wenn ich die URL so hinschreibe??)
Meine Lösung:
Sei $W$ ein Vektorraum über $K$ Körper und $M$ eine beliebige Menge.
Zu zeigen ist, dass $A:=Abb(M,W)$ mit der in der Aufgabe definierten punktweise Addition und Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum bildet.
Ich prüfe zunächst, ob $(A,+)$ eine abelsche Gruppe ist. Ich verwende
dabei natürlich, dass $W$ ein Vektorraum ist und somit eine additive
abelsche Gruppe ist:
1) Assoziativität:
Seien $f,g,h [mm] \in [/mm] A$. Dann gilt:
$((f+g)+h)(m)=(f+g)(m)+h(m)$
$=(f(m)+g(m))+h(m)$
$=f(m)+(g(m)+h(m))$
$=f(m)+ (g+h)(m)$
$=(f+(g+h))(m)$
Also: (f+g)+h=f+(g+h)
2) Neutrales Element
Sei [mm] $0_A:M \rightarrow [/mm] W, m [mm] \mapsto [/mm] 0$
(Wobei 0 natürlich das neutrale Element bzgl. der Addition in W bezeichnet.)
Mit $f [mm] \in [/mm] A$ ist dann für alle $m [mm] \in [/mm] M$:
[mm] $(f+0_A)(m)=f(m)+ 0_A(m)= [/mm] f(m) + 0 = f(m)$
Also: $f + [mm] 0_A [/mm] = f$, somit ist [mm] $0_A$ [/mm] das neutrale Element in $(A,+)$
3) Inverses Element
Sei $f [mm] \in [/mm] A$ und [mm] $\tilde [/mm] f: M [mm] \rightarrow [/mm] W, m [mm] \mapsto [/mm] -f(m)$.
Dann ist für alle $m [mm] \in [/mm] M$
$(f + [mm] \tilde [/mm] f)(m)= [mm] f(m)+\tilde f(m)=f(m)-f(m)=0=0_A(m)$
[/mm]
Also [mm] $f+\tilde f=0_A$, [/mm] d.h. [mm] $\tilde [/mm] f$ ist das inverse Element zu $f$.
4) Kommutavität
Seien $f,g [mm] \in [/mm] A$. Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gilt dann:
$(f+g)(m)=f(m)+g(m)=g(m)+f(m)=(g+f)(m)$
Also $f+g=g+f$.
Nun prüfe ich noch die Axiome für die Skalarmultiplikation nach:
1) Distributivität Nr. 1
Sei [mm] $\lambda, \mu \in [/mm] W$ und $f [mm] \in [/mm] A$. Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ ist dann:
[mm] $((\lambda [/mm] + [mm] \mu) \cdot [/mm] f) (m) = [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] f(m)$
[mm] $=\lambda \cdot [/mm] f(m) + [mm] \mu \cdot [/mm] f(m)$
[mm] $=(\lambda \cdot [/mm] f)(m) + [mm] (\mu \cdot [/mm] f)(m)$
[mm] $=((\lambda \cdot [/mm] f) + [mm] (\mu \cdot [/mm] f))(m)$
Also ist: [mm] $(\lambda [/mm] + [mm] \mu) \cdot [/mm] f [mm] =(\lambda \cdot f)+(\mu \cdot [/mm] f) $
2) Distributivität Nr. 2
Sei [mm] $\lambda \in [/mm] W$ und $f,g [mm] \in [/mm] A$. Dann gilt für alle $m [mm] \in [/mm] M$:
[mm] (\lambda \cdot [/mm] (f+g))(m)= [mm] \lambda \cdot [/mm] (f+g)(m)
[mm] $=\lambda \cdot [/mm] (f(m)+g(m))$
[mm] $=\lambda \cdot [/mm] f(m) [mm] +\lambda \cdot [/mm] g(m)$
[mm] $=(\lambda \cdot [/mm] f)(m) + [mm] (\lambda \cdot [/mm] g)(m)$
[mm] $=((\lambda \cdot f)+(\lambda \cdot [/mm] g))(m)$
Also: [mm] $\lambda \cdot [/mm] (f+g)= [mm] (\lambda \cdot [/mm] f) + [mm] (\lambda \cdot [/mm] g)$
3) Assozivität
Sei [mm] $\lambda, \mu \in [/mm] W$ und $f [mm] \in [/mm] A$. Dann gilt für alle $m [mm] \in [/mm] M$:
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] ( [mm] \mu \cdot [/mm] f))(m)= [mm] \lambda \cdot [/mm] ( [mm] \mu \cdot [/mm] f)(m)$
$= [mm] \lambda \cdot [/mm] ( [mm] \mu \cdot [/mm] f(m))$
$= ( [mm] \lambda \cdot \mu) \cdot [/mm] f(m)$
$= (( [mm] \lambda \cdot \mu) \cdot [/mm] f)(m)$
Also ist: [mm] $\lambda \cdot (\mu \cdot [/mm] f)= [mm] (\lambda \cdot \mu) \cdot [/mm] f$
4) Neutrales Element
Sei $f [mm] \in [/mm] A$ und $ 1 [mm] \in [/mm] W$ bezeichne das neutrale Element in $(W,\ [mm] \{0\}, \cdot)$
[/mm]
Dann ist für alle $m [mm] \in [/mm] M$:
$(1 [mm] \cdot [/mm] f)(m)= 1 [mm] \cdot [/mm] f(m)=f(m)$
Also: $1 [mm] \cdot [/mm] f=f$
Somit ist A ein K-Vektorraum.
Vielen Dank
Gute Nacht
Nevinpol
|
|
|
![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]"){kind=small}
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
!
![[streber]](/images/smileys/streber.gif "[streber]"){kind=small}
<- Spielverderber 
):
