Abb. zw. Vektorräumen bij.? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Fr 18.12.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und U, U' Unterräume.
Sei $f: V [mm] \to [/mm] V/U [mm] \times [/mm] V/U', v [mm] \mapsto [/mm] (v+U, v+U')$.
Zeige:
a) f ist genau dann injektiv, wenn $U [mm] \cap U'=\{0\}$
[/mm]
b) f ist genau dann surjektiv, wenn $U+U'=V$
c) f ist genau dann bijektiv, wenn $U [mm] \oplus [/mm] U'=V$ |
Hi!
Zu a habe ich folgendes:
Sei f injektiv.
Dann gilt $((a+U, a+U')=(b+U, b+U') [mm] \Rightarrow [/mm] a=b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a+U=b+U [mm] \wedge [/mm] a+U'=b+U' [mm] \Rightarrow [/mm] a=b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a-b [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge [/mm] a-b [mm] \in [/mm] U' [mm] \Rightarrow [/mm] a=b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a-b [mm] \in [/mm] (U [mm] \cap [/mm] U') [mm] \Rightarrow [/mm] a=b)$
Und wenn letztes gelten soll, muss ja $U [mm] \cap U'=\{0\}$ [/mm] gelten.
Sei nun $U [mm] \cap U'=\{0\}$.
[/mm]
Dann gilt: $(a+U, a+U')=(b+U, b+U') [mm] \Rightarrow [/mm] a+U=b+U [mm] \wedge [/mm] a+U'=b+U' [mm] \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge [/mm] a-b [mm] \in [/mm] U'$.
Da nun $U [mm] \cap U'=\{0\}$, [/mm] muss $a-b=0$ gelten, also $a=b$. Damit ist f injektiv.
Bei der b) hänge ich irgendwie.
Ich könnte ja zuerst mal zeigen, dass $f(V)=(V/U, V/U')$ ist.
Und $f(V)=(V+U, V+U')=(V/U, V/U')$ (so ist der Quotientenraum ja definiert). Aber hier habe ich nirgends die Summe aus U und U' verwendet.
Und bei der Rückrichtung kann ich sie auch nicht vernünftig einbauen.
c) würde sich ja dann aus a) und b) ergeben.
Kann jemand helfen?
Danke.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Sei V ein K-Vektorraum und U, U' Unterräume.
> Sei [mm]f: V \to V/U \times V/U', v \mapsto (v+U, v+U')[/mm].
>
> Zeige:
> a) f ist genau dann injektiv, wenn [mm]U \cap U'=\{0\}[/mm]
> b) f
> ist genau dann surjektiv, wenn [mm]U+U'=V[/mm]
> c) f ist genau dann bijektiv, wenn [mm]U \oplus U'=V[/mm]
> Hi!
>
> Zu a habe ich folgendes:
> Sei f injektiv.
> Dann gilt [mm]((a+U, a+U')=(b+U, b+U') \Rightarrow a=b) \Rightarrow (a+U=b+U \wedge a+U'=b+U' \Rightarrow a=b) \Rightarrow (a-b \in U \wedge a-b \in U' \Rightarrow a=b) \Rightarrow (a-b \in (U \cap U') \Rightarrow a=b)[/mm]
>
> Und wenn letztes gelten soll, muss ja [mm]U \cap U'=\{0\}[/mm]
> gelten.
Hallo,
das mußt Du noch begründen.
Dein Beweis ist an sich richtig, aber der Aufschreib mit (....)==>(...)==> usw. gefällt mir überhaupt nicht.
Ich würde eher einen Widerspruchsbeweis machen.
Weiter sind wir doch in der linearen Algebra, wo gilt: f injektiv <==> [mm] Kernf=\{0\}, [/mm] auch dies würde ich verwenden.
Also: angenommen f injektiv, dh. Kernf [mm] \not=0 [/mm] und [mm] U\capU'\not=\{0\}. [/mm] Dann gibt es ein [mm] a\in U\cap [/mm] U' usw.
>
> Sei nun [mm]U \cap U'=\{0\}[/mm].
> Dann gilt: [mm](a+U, a+U')=(b+U, b+U') \Rightarrow a+U=b+U \wedge a+U'=b+U' \Rightarrow a-b \in U \wedge a-b \in U'[/mm].
>
> Da nun [mm]U \cap U'=\{0\}[/mm], muss [mm]a-b=0[/mm] gelten, also [mm]a=b[/mm]. Damit
> ist f injektiv.
Das ist in Ordnung, aber auch hier kannst Du es mal mit der Kernbedingung versuchen.
>
> Bei der b) hänge ich irgendwie.
>
> Ich könnte ja zuerst mal zeigen, dass [mm]f(V)=(V/U, V/U')[/mm]
> ist.
Die Sache ist ja so: wenn die Abbildung f surjektiv ist, gibt es für alle [mm] a,b\in [/mm] V ein [mm] v\in [/mm] V mit f(v)=(a+U,b+U').
Ich habe den Eindruck, daß Dir das zuvor nicht klar war.
Vielleicht versuchst Du jetzt mal weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erstmal.
Ja, das Ende der Hinrichtung von a) war etwas schwammig, aber das mit der Kerneigenschaft bei injektiven Funktionen klingt gut. Wobei ich dann wohl noch vorher zeigen muss, dass f linear ist, was aber nicht so schwierig sein sollte.
Ich würde das dann aber mit Kontraposition zeigen.
Sei $U [mm] \cap [/mm] U' [mm] \not= \{0 \}$.
[/mm]
Dann gehört $0 [mm] \not= [/mm] w [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] U'$ zum Kern von f, da $f(w)=(w+U, w+U')=(U,U')$ (was ja der Nullvektor im Zielvektorraum ist).
Und da $ker(f) [mm] \not= \{0 \}$ [/mm] ist f nicht injektiv.
Bei der Surjektivität muss ich noch überlegen.
Angefangen habe ich so:
[mm] $\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] V [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V mit f(v)=(v+U, v+U')=(a+U, a+U')$. Daraus folgt für , dass [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] V [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V mit v+U=a+U [mm] \wedge [/mm] v+U'=a+U'$. Addiere ich diese Sachen, bekomme ich [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] V [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V mit 2v+U+U'=2a+U+U' [mm] \gdw \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] V [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V mit v-a [mm] \in [/mm] (U+U')$
Aber daraus folgt ja noch nicht, dass mit v-a [mm] \in [/mm] V wirklich jedes Element aus V in U+U' liegt.
Hm...
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kann mir da bitte jemand noch einen Denkanstoß geben? Ich kriege einfach die Summe nicht vernünftig da rein.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Sa 19.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
> Kann mir da bitte jemand noch einen Denkanstoß geben?
Nee, wir wollen alle nicht.  Außer mir, ich begreife es nämlich selber nicht. Sorry.
Kopf hoch...
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hiho.
Ok, also die Rückrichtung von b) erscheint mir irgendwie witzlos..., da $f(V)=V/U [mm] \times [/mm] V/U'$ doch eigentlich immer per Definition gilt, auch wenn U+U' nicht V ist.
Denn [mm] $V/U=\{v+U|v \in V\}=V+U$ [/mm] nur die Hinrichtung bleibt für mich ein Rätsel.
Und was begreifst du nicht? Irgendeine Schreibweise, die mein Professor verwendet?
[mm] $U+U'=\{u+u'|u \in U, u' \in U'\}.
[/mm]
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Sa 19.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
nein, es liegt nicht an Deiner Notation. Mir ist nur das Thema nicht mehr geläufig, und mit ihm vielleicht dann doch auch die Notation.
Insofern war meine Mitteilung vorhin in Teilen ernst gemeint: ich kann Dir tatsächlich mangels Kenntnis nicht weiterhelfen. Vielleicht geht das ja anderen auch so, und Du brauchst nur etwas Geduld. Es hat ja jeder und jede irgendwelche Spezialgebiete, und es wird schon jemand kommen, der Deine Frage kompetent genug beantworten kann. Im Moment ist hier im Forum ziemlich wenig los, so dass die meisten "typischen" Antwortengeber auch weniger hereinschauen.
Mehr wollte ich nicht andeuten. Vielleicht war das nur etwas kryptisch.
Nebenbei: Du gibts selbst so oft sehr kompetente Antworten - da wusste ich fast schon instinktiv, dass meine Fähigkeiten nicht ausreichen werden, eine Deiner Fragen zu bearbeiten.
Alles Gute also - und nichts für ungut.
Liebe Grüße*
reverend
PS * Das schreibe ich seeehr selten aus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Oho, danke für das Kompliment! Und ich fühle mich sehr geehrt. ;)
Leider komme ich in letzter Zeit nicht mehr so oft dazu anderen Fragen zu beantworten, da das Studium mir die meiste Zeit abverlangt. Ich hoffe mal, das sich das bald wieder legt.
Dennoch danke für deine Antworten!
Vielleicht kann mir ja wirklich noch jemand helfen.
Und ich werde wohl im Traum nochmal darüber meditieren.
Gute Nacht dann.
Teufel
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> Bei der Surjektivität muss ich noch überlegen.
> Angefangen habe ich so:
> [mm]\forall a \in V \exists v \in V mit f(v)=(v+U, v+U')=(a+U, a+U')[/mm].
Hallo,
diese Aussage ist jetzt nicht so die Offenbarung, oder?
Mit v:=a hat man das sofort...
Zeigen wollen wir:
A. f ist surjektiv ==> V=U+U'
B. V=U+U' ==> f ist surjektiv
Zu A,
Beweis durch Widerspruch.
Es sei f surjektiv und [mm] V\not=U+U'.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] x\in V\backslash [/mm] (U+U').
Da f surjektiv ist, gibt es ein [mm] v\in [/mm] V mit f(v)=(x+U, U')
==> ???
Zu B. : müßte ich erst überlegen, aber heute kann ich nix mehr denken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 20.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke nochmal.
Zu A also:
Annahme: Sei f surjektiv und $U+U' [mm] \not= [/mm] V$.
Dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash \{U+U'}$ [/mm] und da f surjektiv ist, existiert dazu ein $v [mm] \in [/mm] V$ mi $f(v)=(x+U, U')$.
Dann müsste aber v [mm] \in [/mm] U' sein und damit auch $x [mm] \in [/mm] U'4, was im Widerspruch zur Annahme steht.
(Denn es muss ja $v+U=x+U$ gelten).
So?
Mein Problem war hier wohl, dass ich die 2 Komponenten des Bildvektors nie verschiedenen gestaltet habe, sondern immer nur in der Form $(a+U, a'+U')$.
Danke!
Teufel
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> Hi!
>
> Danke nochmal.
>
> Zu A also:
> Annahme: Sei f surjektiv und [mm]U+U' \not= V[/mm].
> Dann gibt es
> ein [mm]x \in V \backslash \{U+U'}[/mm] und da f surjektiv ist,
> existiert dazu ein [mm]v \in V[/mm] mi [mm]f(v)=(x+U, U')[/mm].
> Dann müsste
> aber v [mm]\in[/mm] U' sein und damit auch $x [mm]\in[/mm] U',$
Hallo,
der Folgerung, daß [mm] x\in [/mm] U' ist, folge ich nicht.
Sie ist auch nicht richtig.
Überleg Dir genauer, was die erste Komponente der Abbildung Dir sagt.
Gruß v. Angela
was im
> Widerspruch zur Annahme steht.
> (Denn es muss ja [mm]v+U=x+U[/mm] gelten).
>
> So?
>
> Mein Problem war hier wohl, dass ich die 2 Komponenten des
> Bildvektors nie verschiedenen gestaltet habe, sondern immer
> nur in der Form [mm](a+U, a'+U')[/mm].
>
> Danke!
>
> Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 20.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, ich erhalte nun aus der
1. Komponente: $w-x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u'-x [mm] \in [/mm] U$ ($u' [mm] \in [/mm] U'$, wegen der 2. Komponente)
2. Komponente: $w [mm] \in [/mm] U'$
Also muss x die Form $u+u'$ haben mit $u [mm] \in [/mm] U$, was aber im Widerspruch zu $x [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] (U+U')$ steht.
Teufel
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> Hi!
>
> Ok, ich erhalte nun aus der
> 1. Komponente: [mm]w-x \in U \Rightarrow u'-x \in U[/mm] ([mm]u' \in U'[/mm],
> wegen der 2. Komponente)
> 2. Komponente: [mm]w \in U'[/mm]
>
> Also muss x die Form [mm]u+u'[/mm] haben mit [mm]u \in U[/mm], was aber im
> Widerspruch zu [mm]x \in V \backslash (U+U')[/mm] steht.
Hallo,
jetzt hast Du es. Den Aufschrieb mußt Du natürlich noch ein wenig verschönern.
Gruß v. Angela
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 20.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Ok, vielen Dank für deine Geduld!
Teufel
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Hallo,
nun noch
B. V=U+U' ==> f ist surjektiv
Du mußt also zu beliebigen [mm] x,y\in [/mm] V ein [mm] w\in [/mm] V angeben mit f(w)=(x+U, y+U')
Überleg Dir hierzu, daß es Vektoren a,b [mm] \in [/mm] U und [mm] a',b'\in [/mm] U' gibt mit x=a+a', y=b+b'.
Auch Dein w läßt sich entsprechend schreiben als w=v+v'.
Nun überlege Dir, wie Du v und v' wählen mußt und rechne dann vor, wie alles so herrlich klappt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 20.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Auch danke dafür.
Hier hatte ich auch das Problem, dass ich immer nur von Bildern der Form $(a+U, a+U')$ ausgegangen bin und das nicht aufgeteilt habe.
Sei also$ x=a+a', y=b+b', w=c+c', a,b,c [mm] \in [/mm] U, a',b',c' [mm] \in [/mm] U'$, was möglich ist, da U+U'=V.
Dann muss es zu $(x+U, y+U')$ ein Urbild w geben. Setze $w=a'+b$ und man erhält $f(w)=(w+U, w+U')=(a'+b+U, a'+w+U)=(a'+U, b+U')=(a'+a+U, b+b'+U')=(x+U, y+U')$.
So?
Teufel
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> Hi!
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> Auch danke dafür.
> Hier hatte ich auch das Problem, dass ich immer nur von
> Bildern der Form [mm](a+U, a+U')[/mm] ausgegangen bin und das nicht
> aufgeteilt habe.
>
> Sei also[mm] x=a+a', y=b+b', w=c+c', a,b,c \in U, a',b',c' \in U'[/mm],
> was möglich ist, da U+U'=V.
>
> Dann muss es zu [mm](x+U, y+U')[/mm] ein Urbild w geben. Setze
> [mm]w=a'+b[/mm] und man erhält [mm]f(w)=(w+U, w+U')=(a'+b+U, a'+w+U)=(a'+U, b+U')=(a'+a+U, b+b'+U')=(x+U, y+U')[/mm].
>
> So?
Hallo,
ich denke, daß das, was Du hinter dem zweiten Gleichheitszeichen stehen hast, lediglich ein Copyfehler ist, ansonsten ist es so, wie ich es mir vorgestellt hatte.
Gruß v. Angela
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 So 20.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ja, das sollte ein b statt w sein.
Teufel
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