Abb. von offen X zu offen Y < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Seien X,Y normierte Räume, und sei f: X --> Y eine lineare Abbildung, die offene Mengen in X auf offene Mengen in Y abbildet. Beweisen Sie, dass f surjektiv ist. |
Hallo,
Ich danke euch schon mal im Voraus für die Hilfe, die ihr mir zukommen lasst. Hab Gerade ein Problem damit nachzuweisen dass etwas surjektiv ist.
Surjektivität bedeutet ja dass eine Abb. von X auf Y zu jedem y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y, ganz grob gesagt jedes Element im Bild wird getroffen.
lineare Abbildungen haben folgende Eigenschaften:
Additivität: f (x + x') = f(x) + f(x')
Homogenität: f (k * x) = k * f(x) (k ist Skalar)
Und hier hört dann schon vor dem Ansatz meine Idee auf. Kann mir beim Ansatz jemand mal bitte helfen. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei U := {x [mm] \in [/mm] X: ||x|| <1}. U ist offen in X, also ist f(U) offen in Y
Wegen 0=f(0) [mm] \in [/mm] f(U) ex. also ein s>0 mit
V := {y [mm] \in [/mm] Y: ||y|| <s} [mm] \subseteq [/mm] f(U)
Sei [mm] y_0 \in [/mm] Y und [mm] y_0 \not=0. [/mm] Sei [mm] z_0 [/mm] := [mm] \bruch{s}{2||y_0||}y_0.
[/mm]
Dann ist [mm] z_0 \in [/mm] V , also auch [mm] z_0 \in [/mm] f(U). somit ex. [mm] x_0 \in [/mm] U mit :
[mm] f(x_0) [/mm] = [mm] z_0
[/mm]
f ist linear, also folgt: [mm] f(\bruch{2||y_0||}{s}x_0) [/mm] = [mm] y_0
[/mm]
f ist also surjektiv.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:12 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Ultio |
Danke nochmal.
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