AWP und Wronski Matrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse das folgende AWP
[mm] y'=\pmat{ 1 & 1 \\ -2 & 4 }y+\pmat{ 0 \\ 2e^{t}} [/mm] , [mm] y(0)=\pmat{ 1 \\ 1 } [/mm] |
Ich habe ein Problem, weil ich den partikulären Teil mit der Wronski Matrix lösen möchte, aber nicht weiterkomme.
Eigenwerte: [mm] a_{1}=3 [/mm] und [mm] a_{2}=2
[/mm]
Die Wronski Matrix :
[mm] \pmat{ e^{3t} & e^{2t}|0 \\ 3e^{3t} & 2e^{2t}|2e^{t} }
[/mm]
die Schreibweise sieht hier etwas komisch aus :-(
den partikulären teil müsste ich doch über obere Matrix herausbekommen , aber wie ?
[mm] y_{p}=c_{1}(t)e^{3t}+c_{2}(t)e^{2t}
[/mm]
????????
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Hallo,
> Löse das folgende AWP
> [mm]y'=\pmat{ 1 & 1 \\ -2 & 4 }y+\pmat{ 0 \\ 2e^{t}}[/mm] ,
> [mm]y(0)=\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm]
> Ich habe ein Problem, weil ich den
> partikulären Teil mit der Wronski Matrix lösen möchte,
> aber nicht weiterkomme.
>
> Eigenwerte: [mm]a_{1}=3[/mm] und [mm]a_{2}=2[/mm]
Passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Wronski Matrix :
> [mm]\pmat{ e^{3t} & e^{2t}|0 \\ 3e^{3t} & 2e^{2t}|2e^{t} }[/mm]
>
Die stimmt IMO nicht. Ich bekomme die Eigenvektoren
[mm]\vec{d}_1= \vektor{1 \\ 1} ; \vec{d}_2= \vektor{1 \\ 2}[/mm]
> die Schreibweise sieht hier etwas komisch aus :-(
> den partikulären teil müsste ich doch über obere Matrix
> herausbekommen , aber wie ?
> [mm]y_{p}=c_{1}(t)e^{3t}+c_{2}(t)e^{2t}[/mm]
Hm, dir ist aber schon klar, dass wir hier von einem DGL-System sprechen? Mit der Störfunktion
[mm] \vec{b}(t)=\vektor{0 \\ 2e^{2t}}
[/mm]
lautet der Ansatz
[mm] \vec{y}_p(t)=W(t)*\left(\integral_{t_0}^t{W^{-1}(t)\vec{b}(t) dt}+W^{-1}(t_0)*\vec{y}(0)\right)
[/mm]
Gruß, Diophant
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Wie kommst du auf diese Eigenvektoren?
Kann man deinen Ansatz [mm] y_{p}=W(t).....allgemein [/mm] verwenden ?
Wie sieht denn dann die richtige Wronskimatrix ( für mein Problem) aus?
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Hallo,
> Wie kommst du auf diese Eigenvektoren?
Durch Ausrechnen. Mit den errechneten Eigenwerten löst man jeweils das homogene LGS
[mm]
\pmat{ 1-\lambda & 1 \\ -2 & 4-\lambda } = \vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> Kann man deinen Ansatz [mm]y_{p}=W(t).....allgemein[/mm] verwenden
> ?
Was meinst du mit allgemein? Die Methode klappt nur für ein System aus zwei linearen (gewöhnlichen) DGLen erster Ordnung für zwei Funktionen.
>
> Wie sieht denn dann die richtige Wronskimatrix ( für mein
> Problem) aus?
Rückfrage: wie bist du auf deine Wronski-Matrix gekommen (bzw.: warum soll ich das hier eintippen  ). Du musst halt die richtigen Eigenvektoren verwenden.
Gruß, Diophant
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