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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 So 26.09.2010 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | Lösen sie:
[mm] (x^2-1)y'+2xy^2=0
[/mm]
Mit dem AWP: y(0)=1. |
Ich habe da so nen Lösungsweg heraus gefunden bin aber nicht davon überzeugt:
[mm] (x^2-1)y'+2xy^2=0
[/mm]
[mm] (x^2-1)y'=-2xy^2
[/mm]
[mm] y'=\frac{-2xy^2}{x^2-1}
[/mm]
[mm] \frac{dy}{dx}=\frac{-2xy^2}{x^2-1}
[/mm]
[mm] dy=\frac{-2xy^2}{x^2-1}dx
[/mm]
[mm] x^2-1 [/mm] dy=-2xy^2dx
So weit sollte alles ok sein, hier nun die Frage:
[mm] x^2-1 [/mm] dy=-2x [mm] y^{2} [/mm] dx [mm] |*\frac{1}{-2x dx}
[/mm]
[mm] (x^2-1) [/mm] * [mm] \frac{1}{-2x dx} dy=y^2 [/mm] | * [mm] \frac{1}{dy}
[/mm]
[mm] (x^2-1) [/mm] * [mm] \frac{1}{-2x dx}= \frac{y^2}{dy}
[/mm]
Nun steht ja 'dx' und 'dy' im Nenner, darf das wirklich sein? Integrieren darf man so, meine ich nicht, oder? Also alles mit dem Kehr Bruch Mal nehmen
[mm] \frac{1}{y^2} [/mm] dy = [mm] -\frac{2x}{x^2-1} [/mm] dx
[mm] \integral{\frac{1}{y^2} dy} [/mm] = -2 [mm] \integral{\frac{x}{x^2-1} dx}
[/mm]
[mm] -\frac{1}{y} [/mm] = [mm] -\log{|x^2-1|}+c [/mm] Wie das Rechte Integral funktioniert habe ich nicht ganz verstanden, warum ist die Konstante danach weg...
y = [mm] \bruch{1}{-\log{|x^2-1|}+c}
[/mm]
AWP aus Aufgabe eingesetzt:
y(0)=1 [mm] \rightarrow [/mm] 1 = [mm] \bruch{1}{-\log{|0^2-1|}+c}
[/mm]
1 = [mm] \bruch{1}{c}
[/mm]
1 = c
Also:
y = [mm] \bruch{1}{-\log{|x^2-1|}+1}
[/mm]
Oder bin ich damit total auf dem Holzweg?
Danke im voraus,
michime
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 26.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
> Lösen sie:
> [mm](x^2-1)y'+2xy^2=0[/mm]
> Mit dem AWP: y(0)=1.
> Ich habe da so nen Lösungsweg heraus gefunden bin aber
> nicht davon überzeugt:
>
> [mm](x^2-1)y'+2xy^2=0[/mm]
> [mm](x^2-1)y'=-2xy^2[/mm]
> [mm]y'=\frac{-2xy^2}{x^2-1}[/mm]
> [mm]\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy^2}{x^2-1}[/mm]
> [mm]dy=\frac{-2xy^2}{x^2-1}dx[/mm]
> [mm]x^2-1[/mm] dy=-2xy^2dx
Jetzt würde ich einfach nach x und y sortieren, dann dx und dy auf die jeweilige Seite bringen und dann formal integrieren.
Denn das ist eine DGL der Form $y' = F(x)*G(y)$ also eine mit getrennten Variablen.
JAn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 So 26.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Wie das Rechte Integral funktioniert habe ich nicht ganz verstanden, warum ist die Konstante danach weg...
[mm]\int{\frac{x}{x^2-1}}dx[/mm]
setze [mm]u=x^2-1[/mm] mit [mm]\frac{du}{dx}=2x\gdw\frac{du}{2x}=dx[/mm]
Dann [mm]\int{\frac{x}{x^2-1}}dx=\int{\frac{x}{u}\frac{1}{2x}du}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u}du}[/mm]
Lösen un Resubstitution
Die Konstante verschwindet nicht einfach, da hast du recht. Allerding
[mm] $\ldots +C_1=\ldots +C_2\gdw\ldots=\ldots +(\red{C_2 -C_1})=\ldots [/mm] + [mm] (\red{C})$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 So 26.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
einfach ausgedrückt:
du ziehst die beiden Konstanten zu einer Zusammen, also ziehst sie rüber und dann hast du sowas wie [mm] $C_2 [/mm] - [mm] C_1 [/mm] = C$ da es eh nur reele Zahlen sind.
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