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| Aufgabe | An amerikanischen Börsen rechnet man überschlagsmäßig mit folgender "72-er - Formel":
Wird ein Kapital B mit p Prozent verzinst, so verdoppelt sich das Kapital in 72/p
Jahren. Wie gut ist diese Näherung ? |
Also ich hab so angefangen:
Es gilt ja:
[mm] $S_{n} [/mm] = B [mm] \cdot r^{n} [/mm] = B [mm] \cdot (1+p)^{n}$
[/mm]
Bei einer Verdoppelung ergibt sich ja dann
$2B = B [mm] \cdot (1+p)^{n}$
[/mm]
und daraus folgt dann nach Umformung
$n = [mm] \frac{log(2)}{log(1+p)}$.
[/mm]
Für betragsmäßig kleine $x$ konvergiert ja $log(1+x)$ gegen $x$.
Also ergibt sich annähernd
$n= [mm] \frac{log(2)}{p} \approx \frac{69,3}{p}$.
[/mm]
Nun ist ja aber die Frage, wie gut diese Annäherung mit 72 ist. Ich weiss jetzt leider nicht, wie ich das interpretieren soll.
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> An amerikanischen Börsen rechnet man überschlagsmäßig
> mit folgender "72-er - Formel":
> Wird ein Kapital B mit p Prozent verzinst, so verdoppelt
> sich das Kapital in 72/p
> Jahren. Wie gut ist diese Näherung ?
> Also ich hab so angefangen:
> Es gilt ja:
> [mm]S_{n} = B \cdot r^{n} = B \cdot (1+p)^{n}[/mm]
> Bei einer
> Verdoppelung ergibt sich ja dann
> [mm]2B = B \cdot (1+p)^{n}[/mm]
> und daraus folgt dann nach
> Umformung
> [mm]n = \frac{log(2)}{log(1+p)}[/mm].
>
> Für betragsmäßig kleine [mm]x[/mm] konvergiert ja [mm]log(1+x)[/mm] gegen
> [mm]x[/mm].
> Also ergibt sich annähernd
> [mm]n= \frac{log(2)}{p} \approx \frac{69,3}{p}[/mm].
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> Nun ist ja aber die Frage, wie gut diese Annäherung mit 72
> ist. Ich weiss jetzt leider nicht, wie ich das
> interpretieren soll.
Mit der logarithmischen Rechnung hast du einmal den
Grund eruiert, weshalb man überhaupt ungefähr nach
einer solchen Faustregel rechnen kann. Dass man mit
72 rechnet, hat sicher damit zu tun, dass 72 durch 2,3,
4,5,6,7,8,9,10,12 sehr leicht zu dividieren ist, und zwar
ohne Taschenrechner.
69.3 wäre für ganz kleine p eine bessere Wahl.
Um die Güte der Approximation für gängige Zins-
sätze etwa im Bereich von 1% bis 12% zu prüfen,
würde ich einfach erst einmal eine Vergleichstabelle
und/oder Grafik erstellen.
LG
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