5x5 Matrizen - Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich rechne gerade Übungsaufgaben und ich kann die Determinate von bis zu 4X4 Matrizen berechnen, aber ab 5X5 wird es kritisch :-/ Deshalb wollte ich über einen alternativen Weg die det einer 4X4 Matrix berechnen um das Prinzip zu verstehen um dann auch 5X5 Matrizen berechnen zu können.
Ich zeig euch mal bis wohn es gut klappt und ab wo ich hänge:
[mm] $A_1=\pmat{ + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & +}$
[/mm]
Dies dient mir persönlich nur dazu, die Vorzeichen zu beachten.
[mm] $A_1=\pmat{ 2 & 3 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ \red{-1} & \red{0} & \red{-2} & \red{1}}$
[/mm]
Nach Zeile 4 Entwickelt.
[mm] $=det(\pmat{ 3 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2 })\ [/mm] + \ [mm] 2*det(\pmat{ 2 & 3 & 3 \\ 3 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 2 })\ [/mm] +\ [mm] det(\pmat{ 2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 })$
[/mm]
Ab hier würde ich normalerweise über die Diagonalen gehen und das ganze berechnen. Ich würde es aber gerne so weiter machen, dass ich die det einer 2X2 Matrix berechne und dann das ganze über diese Diagonalen mache. Das hat den Grund, da wenn ich eine 5X5 Matrix bekomme, dann kann ich sie auf eine 4X4 Matrix reduzieren, aber mit einer 4X4 Matrix kann ich nicht mit dieser "Sonderregel" über die Diagonalen arbeiten. Deshalb wollte ich erstmal an diesem Beispiel das Prinzip verstehen.
Was muss ich ab hier machen?
Danke
Gruß Thomas
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> Deshalb wollte ich über einen
> alternativen Weg die det einer 4X4 Matrix berechnen um das
> Prinzip zu verstehen um dann auch 5X5 Matrizen berechnen zu
> können.
Hallo,
Dein Vorgehen gefällt mir richtig gut!
> [mm]A_1=\pmat{ + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & +}[/mm]
>
> Dies dient mir persönlich nur dazu, die Vorzeichen zu
> beachten.
>
>
>
> [mm]A_1=\pmat{ 2 & 3 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ \red{-1} & \red{0} & \red{-2} & \red{1}}[/mm]
>
> Nach Zeile 4 Entwickelt.
>
> [mm]=det(\pmat{ 3 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2 })\ + \ 2*det(\pmat{ 2 & 3 & 3 \\ 3 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 2 })\ +\ det(\pmat{ 2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 })[/mm]
Als nächstes berechnest Du die Determinanten der 3x3-Matrizen nach Laplace.
Aufpassen mußt Du, daß Du die einzelnen Determinanten fein in Klammern schreibst, damit Du kein Vorzeichendurcheinander veranstaltest, das kann leicht passieren, wenn man viele negative Vorzeichen hat. (Was hier allerdings nicht der Fall ist)
Ich deute Dir die Rechnung an, die mittlere Determinante entwickele ich nach der letzten Zeile:
...=( Determinante entwickeln ) + 2*(2det [mm] \pmat{ 3 & 3 \\ -2 & 5 }+1*det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 5 }+2*det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & -2 }) [/mm] +( Determinante entwickeln )
= ... +4det [mm] \pmat{ 3 & 3 \\ -2 & 5 } [/mm] + [mm] 2det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 5 } +4det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & -2 } [/mm] +...
und nun rechnest Du die ganzen 2x2-Determinanten aus.
Gruß v, Angela
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Hi Angela,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich habe mal ein Schaubild konstruiert und würde gerne wissen, ob das so korrekt ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ja ist, das System verdammt umständlich!
Nur nebenbei, falls es jemand weiß: Wie kann man nochmal solch eine Beziehung ausrechnen? Da gibt es doch sowas spezielles dafür. Angenommen ich habe eine 9x9 Matrix, wieviele Kombinationen gibt es dann?
Danke
gruß Thomas
Also heißt das, ich muss jetzt bei diesem Beispiel im ungünstigsten Falle
> > Deshalb wollte ich über einen
> > alternativen Weg die det einer 4X4 Matrix berechnen um das
> > Prinzip zu verstehen um dann auch 5X5 Matrizen berechnen zu
> > können.
>
> Hallo,
>
> Dein Vorgehen gefällt mir richtig gut!
>
>
> > [mm]A_1=\pmat{ + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & +}[/mm]
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> >
> > Dies dient mir persönlich nur dazu, die Vorzeichen zu
> > beachten.
> >
> >
> >
> > [mm]A_1=\pmat{ 2 & 3 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ \red{-1} & \red{0} & \red{-2} & \red{1}}[/mm]
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> >
> > Nach Zeile 4 Entwickelt.
> >
> > [mm]=det(\pmat{ 3 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2 })\ + \ 2*det(\pmat{ 2 & 3 & 3 \\ 3 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 2 })\ +\ det(\pmat{ 2 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 })[/mm]
>
> Als nächstes berechnest Du die Determinanten der
> 3x3-Matrizen nach Laplace.
> Aufpassen mußt Du, daß Du die einzelnen Determinanten fein
> in Klammern schreibst, damit Du kein
> Vorzeichendurcheinander veranstaltest, das kann leicht
> passieren, wenn man viele negative Vorzeichen hat. (Was
> hier allerdings nicht der Fall ist)
> Ich deute Dir die Rechnung an, die mittlere Determinante
> entwickele ich nach der letzten Zeile:
>
> ...=( Determinante entwickeln ) + 2*(2det [mm]\pmat{ 3 & 3 \\ -2 & 5 }+1*det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 5 }+2*det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & -2 })[/mm]
> +( Determinante entwickeln )
>
> = ... +4det [mm]\pmat{ 3 & 3 \\ -2 & 5 }[/mm] + [mm]2det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 5 } +4det\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & -2 }[/mm]
> +...
>
> und nun rechnest Du die ganzen 2x2-Determinanten aus.
>
> Gruß v, Angela
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Fr 02.02.2007 | | Autor: | thoma2 |
<Wenn ja ist, das System verdammt umständlich!
genau so funk. das prinzip
und wie du schon festgestellt hast, spätestens ab einer 6X6 matrix nicht wircklich etwas. was man rechnen will.
du kannst dieses verfahren jedoch BEDINGT mit dem gauss algorythmuss kombinieren.
also, du darfs zu einer zeile(bzw. spalte) das vielfache einer anderen zeile(bzw. spalte) adieren, ohne das sich die determinante verändert. so entstehen dann noch ein par "nullen" mehr.
das solltest du aber aufjedem fall vorher im skript nachlessen, da man sich dabei leicht vertun kann (und dann ändert sich die determinante DOCH) und bei übungsaufgaben/klausuren werden normalerweise nur verfahren akzeptiert, die auch im skrip/der vorlesung eingeführt wurden
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> Wenn ja ist, das System verdammt umständlich!
Hallo,
ich gehe einmal davon aus, daß Du eher an zu bewältigende Klausuren denkst als "ans Leben"
Erfahrungsgemäß sind in Klausuren die Matrizen, deren Determinanten berechnet werden sollen, eher klein. Wenn sie groß sind, weil man zeigen soll, daß man die Laplace-Entwicklung verstanden hat, haben sie zumindest in einigen Zeilen/Spalten viele Nullen, so daß man mit Geschick nicht so viel rechen muß. Wer sich dann die vollste Zeile für die Entwicklung aussucht, den bestraft das Leben...
Also: keine Sorge. Wichtig ist, daß Du das Prinzip verstanden hast.
Gruß v. Angela
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