4. Wurzel auf Komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | Berechnen sie die Lösung der Gleichung
[mm] z^4=-16 [/mm] |
Also ich hab mir folgendes gedacht:
[mm] z^4=-16
[/mm]
[mm] z^4=16* [/mm] (-1)
[mm] z^2= [/mm] 4* [mm] \wurzel{-1}
[/mm]
Aber ich hab keine Ahnung wie ich weiter machen soll..
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Hallo DarkJiN,
> Berechnen sie die Lösung der Gleichung
>
> [mm]z^4=-16[/mm]
> Also ich hab mir folgendes gedacht:
>
> [mm]z^4=-16[/mm]
>
> [mm]z^4=16*[/mm] (-1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]z^2=[/mm] 4* [mm]\wurzel{-1}[/mm]
Hmmm ...
>
>
> Aber ich hab keine Ahnung wie ich weiter machen soll..
Setze anders an.
Es gibt doch Formeln, um die Wurzeln komplexer Zahlen zu berechnen:
Entweder schreibe [mm]z^4=-16[/mm] um in die Exponentialdarstellung [mm]-16=r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi}[/mm] mit [mm]r=|-16|[/mm] und [mm]\varphi=\operatorname{arg}(-16)[/mm].
Dann sind die 4-ten Wurzeln von -16 die 4 Zahlen
[mm]\sqrt[4]{r}\cdot{}e^{\frac{\varphi+2k\pi}{4}\cdot{}i}, k=0,1,2,3[/mm]
Oder du rechnest das gem. Moivre-Formel mit Sinus und Cosinus in der trigonometr. Darstellung.
Ersteres ist hier recht bequem und schnell berechnet ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
oh gott, das hab ich ja total verdrängt. Ich such mir eben ein Tutorial für die polar und expotential darstellung. danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Wann benutze ich arctan [mm] \bruch{x}{y}= [/mm] phi (gibts hier auchn Zeichen dafür?)
oder arctan [mm] \bruch{x}{y} [/mm] + [mm] \pi [/mm] = phi
Und warum überhaupt [mm] \pi? [/mm] Müsste ich nicht einfach +180° dazurechnen wenn ich auf der linken seite des Koordinaten system bin?
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Hallo nochmal,
> Wann benutze ich arctan [mm]\bruch{x}{y}=[/mm] phi (gibts hier auchn
> Zeichen dafür?)
Du kannst die Formel in der anderen Antwort anklicken, dann wird der Quelltext angezeigt.
Es gibt zwei Phicher 
1) \varphi für [mm] $\varphi$
[/mm]
2) \phi für [mm] $\phi$
[/mm]
Als Großbuchstaben gibt's das auch ...
>
>
>
> oder arctan [mm]\bruch{x}{y}[/mm] + [mm]\pi[/mm] = phi
>
> Und warum überhaupt [mm]\pi?[/mm] Müsste ich nicht einfach +180°
> dazurechnen wenn ich auf der linken seite des Koordinaten
> system bin?
Du musst dir überlegen, in welchem Quadranten die Zahl liegt.
Hier brauchst du überhaupt keine Formel.
$-16$ liegt doch auf der negativen reellen Achse.
Und die schließt mit der positiven reellen Achse eine Winkel von ??? ein ...
Einfach ablesen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
180°, richtig?
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Hallo nochmal,
> 180°, richtig?
Ja, oder [mm] $\pi$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
okay zurück zur ursprungsfrage:
ich rechne dann also [mm] z^4= [/mm] 16*(-1)
das sit ja erstmal keine komplexe Zahl wie soll ich das in die polarform umrechnen?
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Hallo nochmal,
> okay zurück zur ursprungsfrage:
>
> ich rechne dann also [mm]z^4=[/mm] 16*(-1)
>
> das sit ja erstmal keine komplexe Zahl wie soll ich das in
> die polarform umrechnen?
Das habe ich dir doch oben hingeschrieben ...
Was ist denn [mm]r=|-16|[/mm]? Und [mm]\varphi=\operatorname{\arg(-16)}=\pi[/mm] haben wir auch schon.
Also ist die Darstellung [mm]z^4=-16=16\cdot{}e^{\pi\cdot{}i}[/mm]
Rechne nun die 4 Werte gem. der Formel aus der ersten Antwort aus ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Entweder schreibe $ [mm] z^4=-16 [/mm] $ um in die Exponentialdarstellung $ [mm] -16=r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi} [/mm] $ mit $ r=|-16| $ und $ [mm] \varphi=\operatorname{arg}(-16) [/mm] $.
wo hast du das r her? udn was ist arg?
Meinst du arcsin oder arccos?
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Hallo DarkJiN,
schau Dir nochmal die Polarform der komplexen Zahlen in Ruhe an, dann erübrigen sich solche Fragen.
> > Entweder schreibe [mm]z^4=-16[/mm] um in die Exponentialdarstellung
> > [mm]-16=r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi}[/mm] mit [mm]r=|-16|[/mm] und
> > [mm]\varphi=\operatorname{arg}(-16) [/mm].
> wo hast du das r her?
Das steht da doch. r ist zugleich der Betrag einer komplexen Zahl. Und -16 ist eben auch eine komplexe Zahl (und eine reelle, rationale, ganze...)
> udn was ist arg?
Das Argument einer komplexen Zahl gibt den Winkel in der Polardarstellung an.
> Meinst du arcsin oder arccos?
Nein, das ist nicht gemeint.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
ja [mm] \varphi [/mm] kann cih ausrechnen.
mit arctan $ [mm] \bruch{x}{y} [/mm] $ + $ [mm] \pi [/mm] $
bzw arctan $ [mm] \bruch{x}{y} [/mm] $
haben wir erörtert und den Betrag eienr komplexen Zahl kann ich auch darstellen..
Wenn cih -16 in der kartesischen Form darstellen möchte wäre das ja
-16+0i
und ich darf ja nicht durch null teilen.. wie komm ich da an [mm] \varphi?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 07.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo DarkJiN!
> -16+0i
>
> und ich darf ja nicht durch null teilen.. wie komm ich da an [mm]\varphi?[/mm]
Durch Anschauung an der Gauß'schen Zahlenebene:
[mm]-16 \ = \ -16+0*i[/mm] liegt auf der negativen x-Achse, so dass schnell ersichtlich ist:
[mm]\varphi \ = \ 180^{\circ} \ \hat{=} \ \pi[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Soweit hatten wir das oben auch - insbesondere hatte der Threadsteller das mit den [mm]180^\circ[/mm] richtig gemacht.
Wieso er nun weiter nach dem Winkel fragt, den er schon längst kennt, erschließt sich mir nicht ...
>
>
> Gruß
> Loddar
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
oh man brett vorm kopf.. sorry!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Do 07.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Ich habe also jetzt (endlich)
[mm] z^4=16*(cos(180°)+i*sin(180°))
[/mm]
leider konnte ich deiner vorherigen Antwort nciht weiter entnehmen was jetzt zutun ist.. sorry :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Fr 08.02.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
> Ich habe also jetzt (endlich)
>
>
>
> [mm]z^4=16*(cos(180°)+i*sin(180°))[/mm]
nur fast richtig,
genauer
[mm]z^4=16*(cos(180°+n*360°)+i*sin(180°+n*360°))[/mm]
komplexe zahlen werden multipliziert, indem man ihre argumente (Winkel zur x-Achse) addiert und die Beträge multipliziert. hoch 4 heisst also Winkel vervierfachen, betrag hoch 4
wurzelziehen ist das umgekehrtem also Winkel vierteln, und 4te Wurzel aus dem Betrag.
einfacher wäre es gewesen du hättest geschrieben
[mm] z^4=16*e^{i*(\pi+n*2\pi}
[/mm]
denn daraus kannst du hoffentlich selbst direkt die Wurzel ziehen.
statt [mm] \pi [/mm] auch 180° (aber eigentlich wendet man die Grad statt rad nur bei Dreiecksrechnungen an) gewöhn dich an Winkel im Bogenmass)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Fr 08.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
sorry ich blick da immernoch nciht ganz durch
$ [mm] z^4=16\cdot{}(cos(180°+n\cdot{}360°)+i\cdot{}sin(180°+n\cdot{}360°)) [/mm] $
komplexe zahlen werden multipliziert, indem man ihre argumente (Winkel zur x-Achse) addiert und die Beträge multipliziert.
wo nimmst du das her?
Ich ahb doch -16 erstmal nur als komplexe zahl dargestellt und gar ncihts multipliziert..
und diese schreibweise von komplexen zahlen mi9thilfe der eulerschen zahl habne wir ind er Vorlesung nicht behandelt..
Kannst du mir das genauer erklären?
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Hallo nochmal,
> sorry ich blick da immernoch nciht ganz durch
>
> [mm]z^4=16\cdot{}(cos(180°+n\cdot{}360°)+i\cdot{}sin(180°+n\cdot{}360°))[/mm]
> komplexe zahlen werden multipliziert, indem man ihre
> argumente (Winkel zur x-Achse) addiert und die Beträge
> multipliziert.
>
>
> wo nimmst du das her?
Male dir ein Koordinatensystem, zeichne 2 komplexe Zahlen deiner Wahl als Vektoren vom Ursprung ein und addiere, multipliziere sie ...
>
> Ich ahb doch -16 erstmal nur als komplexe zahl dargestellt
> und gar ncihts multipliziert..
>
>
> und diese schreibweise von komplexen zahlen mi9thilfe der
> eulerschen zahl habne wir ind er Vorlesung nicht
> behandelt..
> Kannst du mir das genauer erklären?
Siehe gaaaaanz oben.
Ich schreib's im Bogenmaß, du kannst das ja auf das Gradmaß übertragen, wenn du so daran festhältst - ist ja einerlei ...
Die 4-ten Wurzeln von [mm]-16=16\cdot{}e^{\pi\cdot{}i}=16\cdot{}\left(\cos(\pi)+i\cdot{}\sin(\pi)\right)[/mm] berechnen sich als
[mm]z_k=\sqrt[4]{16}\cdot{}e^{\frac{\pi+2k\pi}{4}\cdot{}i}=\sqrt[4]{16}\cdot{}\left(\cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)\right), \ k=0,1,2,3[/mm]
Jetzt hast du's in der Exponentialschreibweise und in der trigonometr. Schreibweise.
Du kannst [mm]w=\underbrace{|w|}_{=r}\cdot{}e^{\overbrace{\operatorname{arg}(w)}^{=:\varphi}\cdot{}i}=r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}[/mm] schreiben als [mm]r\cdot{}(\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi))[/mm] und
entsprechend der Formel oben die 4ten Wurzeln berechnen. (Oben ist [mm] $w=z^4=-16$)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 09.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Danke für deine Erklärung zu der expotential-form eienr Komplexe zahl..
Ich blick immernoch nciht durch wie du das mit
$ [mm] z^4=16\cdot{}(cos(180°+n\cdot{}360°)+i\cdot{}sin(180°+n\cdot{}360°)) [/mm] $
gemeint ist.. ich halte nciht am Bogenmaß fest, ich entnehme die Schreibweise nur aus meinem Skript..
Warum multiplizier ich zwei Komplexe zahlen? Ich weiß wie das funktioniert, aber mir wird hier nciht ersichtlich wo genau ich das tue?
Ich schreibe doch nur -16 in eine komplexe Zahl um, keine Multiplikation (?)
Ist meine polardarstellung nun falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 09.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher weisst du dass [mm] \wurzel[4]{16} [/mm] in reellen 2 ind -2 ist?
Nur weil du weist, dass [mm] 2^4=16 [/mm] und das weist du weil du weist wie man 2*2*2*2 multipliziert. Wenn du also Wurzeln ziehen willst, musst du wissen, wie man multipliziert und damit n te potenzen ausrechnet. Du willst die Zahl wissen die 4 mal mit sich selbst multipliziert dein -16 gibt. und zwar komplex. du weist, dass du -16 als 16*(cos(180+n*360+isin(180+n*360) schreiben kann.
du weist, dass beim multiplizieren die Winkel (arg) der komplexen Zahlen addiert werden, also beim potenzieren mit 4 vervierfacht werden. Folge; man muss sie bei der Umkehrfunktion vierteln!
also kommt ein Winkel 180/4=45° raus. aber da die 180 ja nicht eindeutig sind ausserdem noch 45+360/4 , 45+720/4 und 45+1080/4
theoretisch kann man jetzt weiter machen, aber 45+1440/4=45+360 ist wieder dasselbe wie 45.
dazu kommt matürlich noch die [mm] +\wurzel[4]{16}, [/mm] da beim multiplizieren auch die Beträge hier 16 mult. werden.
ist es jetzt klar?
wenn nicht, multiplizier eines der Ergebnisse mal 4 mal mit sich selbst, das musst du ja auch wenn du mir glauben willst dass
[mm] \wurzel[4]{5}\approx [/mm] 1.495
und überlege sehr genau, was du nicht verstehst und formuliere das, manchmal merkt man erst bei einer präziesen Frage, dass man es auch schon kapiert hat.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus!
Mir war mein Fauxpas unmittelbar nach dem Absenden selber aufgefallen und hatte es sogleich geändert.
Aber Du warst dann einfach zu schnell und hast mich erwischt.
Gruß
Loddar
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