3fach Kettenregel? < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] y=x*ln(x+e^x)^2 [/mm] |
Hallo,
kann man diese aufgabe auch als dreifach verschachtelte funktion per Kettenregel lösen oder MUSS man sie zuerst, umformen nach:
[mm] y=2x*ln(x+e^x) [/mm] ?
Kann man [mm] ln(x)^2 [/mm] generell nach 2ln(x) umformen?
lg
dh
|
|
| |
|
Hallo Doc,
> [mm]y=x*ln(x+e^x)^2[/mm]
> Hallo,
> kann man diese aufgabe auch als dreifach verschachtelte
> funktion per Kettenregel lösen oder MUSS man sie zuerst,
> umformen nach:
> [mm]y=2x*ln(x+e^x)[/mm] ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $\ln\left(a^b\right)=b\cdot{}\ln(a)$, [/mm] aber [mm] $\ln(a)^b=\left[\ln(a)\right]^b\neq b\cdot{}\ln(a)$
[/mm]
> Kann man [mm]ln(x)^2[/mm] generell nach 2ln(x) umformen?
Nein, wie oben ist [mm] $\ln\left(x^2\right)=2\ln(x)\neq\left(\ln(x)\right)^2$
[/mm]
Hier verwende Produkt- und Kettenregel
>
> lg
>
> dh
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hmmm,
in meinem Buch steht als Lösung:
[mm] y=x*ln(x+e^x)^2 =y=2x*ln(x+e^x) [/mm] =>
[mm] y'=2*ln(x+e^x)+\bruch{1}{x+e^x}*(1+e^x)2x [/mm] = [mm] 2*ln(x+e^x)+\bruch{2x(1+e^x)}{x+e^x}
[/mm]
Durch Anwendung von Produkt- und Kettenregel bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] y'=ln(x+e^x)^2+\bruch{2x(x+e^x)(1+e^x)}{(x+e^x)^2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo, deine Ableitung stimmt doch mit der aus deinem Buch überein,
1. Summand: du kannst den Exponenten 2 als Faktor schreiben (Logarithmengesetz)
2. Summand: kürze [mm] (x+e^{x})
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
aber das stimmt doch was nicht.
Lt. Buch ist [mm] $\ln(x+e^x)^2=2\ln(x+e^x)$
[/mm]
Das ist falsch.
Außerdem fehlt in der Ableitung nach Produkt- und Kettenregel ein Term
Mit [mm] $f(x)=x\cdot{}\ln\left(x+e^x\right)^2$ [/mm] ist
[mm] $f'(x)=\ln\left(x+e^x\right)^2+2x\cdot{}\ln\left(x+e^x\right)\cdot{}\frac{1}{x+e^x}\cdot{}(1+e^x)=\ln\left(x+e^x\right)^2+\frac{2x(1+e^x)\ln\left(x+e^x\right)}{x+e^x}$
[/mm]
Oder übersehe ich hier was?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 So 07.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo schachuzipus
[mm] f(x)=2x*ln(x+e^{x})
[/mm]
u=2x
u'=2
[mm] v=ln(x+e^{x})
[/mm]
[mm] v'=\bruch{2x(1+e^{x})}{x+e^{x}}
[/mm]
schiebe alles auf's Wetter, Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo,
nochmal:
Ich bleibe bei meinem Protest:
[mm] $f(x)=x\cdot{}\ln\left(x+e^x\right)^2 [/mm] \ [mm] \red{\neq} [/mm] \ [mm] 2x\ln\left(x+e^x\right)$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 So 07.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ok, [mm] x+e^{x}>0, [/mm] oder alles in Betragsstrichen, Steffi
|
|
|
| |
|
HallO Steffi,
das meine ich doch gar nicht.
Wieso glaubt mir keiner, dass [mm] $\ln(a)^b\neq b\cdot{}\ln(a)$ [/mm] ist
Die Regel ist [mm] $\ln\left(a^b\right)=b\ln(a)$
[/mm]
Hier steht eindeutig [mm] $f(x)=x\ln\left(x+e^x\right)^2$ [/mm] und nicht [mm] $f(x)=x\ln\left(\left[x+e^x\right]^2\right)$
[/mm]
Das Quadrat steht außerhalb, nicht im Argument!!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
Also das Buch ist Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure Naturwissenschaftler , Band 1, Auflage 11, IV zu Abschnitt 2, Aufgabe 5)g), S. 392, Lösung auf S. 638 (falls jemand das Buch hat) 
lg
dh
|
|
|
| |
|
> [mm]y=x*ln(x+e^x)^2[/mm]
> Hallo,
> kann man diese aufgabe auch als dreifach verschachtelte
> funktion per Kettenregel lösen oder MUSS man sie zuerst,
> umformen nach:
> [mm]y=2x*ln(x+e^x)[/mm] ?
> Kann man [mm]ln(x)^2[/mm] generell nach 2ln(x) umformen?
Nachdem ich kurz in die Beiträge reingeschaut habe,
möchte ich einmal die Frage aufwerfen, ob es denn
nicht zuallererst um die richtige (und vollständige)
Klammersetzung beim gegebenen Ausdruck geht:
Was war denn nun wirklich gemeint:
a) [mm] y=x*(ln(x+e^x))^2
[/mm]
oder
b) [mm] y=x*ln((x+e^x)^2)
[/mm]
???
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Im Buch steht es so wie ich es geschrieben habe. was wohl das gleiche ist wie das von dir angebotene b) und somit (?) also auch per Logarithmen Gesetz umgeformt werden kann?
lg
dh
|
|
|
| |
|
> Im Buch steht es so wie ich es geschrieben habe. was wohl
> das gleiche ist wie das von dir angebotene b) und somit (?)
> also auch per Logarithmen Gesetz umgeformt werden kann?
Ja - leider sind eben auch Buchautoren manchmal
mit Klammern allzu knausrig, was dann auf Kosten
der klaren Verständlichkeit geht und Missverständ-
nisse provoziert.
Wenn du alle notwendigen Klammern setzt (so wie
sie gemeint, aber leider nicht geschrieben wurden),
sollten sich beim Ableiten eigentlich keine Schwie-
rigkeiten ergeben.
Natürlich nimmt man dann einfacher ein Logarithmus-
gesetz, bevor man eine Dreifachschachtelung mit
Kettenregel durchführt.
LG
|
|
|
|
