3 wurzel 2 rational? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 So 20.01.2008 | | Autor: | lenz |
hi
das wäre auch schon die frage:ist [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] rational?
lenz
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> hi
> das wäre auch schon die frage:ist [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
rational?
Natürlich nicht. Allgemein formuliert: ist $a\in \IN$ und $n\in \IN$, dann ist $\sqrt[n]{a}$ genau dann rational (und in diesem Falle sogar ganzzahlig), wenn $n$ ein gemeinsamer Teiler aller Exponenten der Primfaktoren in der Primfaktorzerlegung von $a$ ist.
Man kann die Irrationalität von $\sqrt[n]{a}$ in einem solchen Falle ganz analog zum wohl bekannten Beweis der Irrationalität von $\sqrt{2}$ auf indirektem Wege zeigen, indem man annimmt, es gäbe eine rationale Zahl $\frac{p}q}$ (in gekürzter Darstellung), mit $\frac{p}{q}=\sqrt[n]{a}$, was gleichbedeutend ist mit $\frac{p^n}{q^n}=a$. Nun ersetzt man eben $a$ durch seine Primfaktorzerlegung und zeigt, dass aus dem Bestehen dieser Gleichung (und dem Teilerfremdsein von $p$ und $q$ bzw. dem daraus folgenden Teilerfremdsein von $p^n$ und $q^n$) ein Widerspruch folgt.
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