www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - 3 Vektoren lin. abh. machen
3 Vektoren lin. abh. machen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

3 Vektoren lin. abh. machen: Frage zur Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mi 16.05.2012
Autor: Jack159

Aufgabe
Gegeben sei folgende Menge von Vektoren:

M={ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ a} [/mm] }

Bestimmen Sie alle Zahlen für a so, dass die Vektoren linear abhängig werden.

Hallo,

Offensichtlich ist schonmal a=2 eine Lösung. Denn dann erhält man

M={ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] }

Und man kann den ersten Vektor durch Linearkombination des zweiten und dritten Vektors ausdrücken mit 1 [mm] *\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+1* \vektor{1 \\ 0 \\ 2}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm]

Die Lösung a=2 habe ich aber nur durch bloßes hingucken "erraten". Rechnerisch habe ich zwar gezeigt, dass a=2 eine Lösung ist, aber woher weiß ich, dass a=2 die einzige Lösung ist? Bzw. wie würde ich a bestimmen können, wenn ich das jetzt nicht durch bloßes hingucken gewusst hätte? Dann müsste ich a ja irgendwie rechnerisch bestimmen können, aber wie?

Mein erster Gedanke wäre jetzt ein Gleichungssystem aufzustellen. Dann hätten wir 3 Gleichungen mit jedoch 4 Unbekannten.....

        
Bezug
3 Vektoren lin. abh. machen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Mi 16.05.2012
Autor: M.Rex

Hallo



Für eine Linearkombination der drei Vektoren muss es Parameter [mm] \lambda, \mu [/mm] un [mm] \nu [/mm] geben, so dass.

[mm] \lambda\cdot\vektor{1\\ 2\\ 3}+\mu\cdot\vektor{0\\ 2\\ 1}+\nu\cdot\vektor{1\\ 0\\ a}=\vec{0} [/mm]

Ich habe bewisst griechische Buchstaben für die Parameter gewählt, da diese eine andere Rolle als das a spielen.

Sicherlich ist [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] eine Lösung, aber evtl nicht die einzige.

Stellen wir mal das GLS auf.

Damit bekommst du:

[mm] \begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ 2\lambda+2\mu=0\\ 3\lambda+\mu+a\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]

[mm] \stackrel{0,5\cdot II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ \lambda+\mu=0\\ 3\lambda+\mu+a\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]

[mm]\stackrel{3\cdotI-III;I-II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ -\mu+\nu=0\\ -\mu+(3-a)\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm]

[mm] $\stackrel{II-III}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}\lambda+\nu=0\\ -\mu+\nu=0\\ (2+a)\cdot\nu=0\end{vmatrix} [/mm] $

Jetzt haben wir den eigentlich interessanten Fall in der letzten Gleichung stehen.
Die Gleichung $ [mm] (2+a)\cdot\nu=0 [/mm] $ ist fur a=2 unabhängig von [mm] \nu [/mm] erfüllt, also ist a=2 schonmal ein Sonderfall.
Für [mm] a\ne2 [/mm] folgt aus $ [mm] (2+a)\cdot\nu=0 [/mm] $, dass [mm] \nu=0. [/mm] Damit gilt dann (Gleichung 2) auch [mm] \mu=0 [/mm] und damit nach Gleichung 1 auch [mm] \lambda=0 [/mm]

Marius



Bezug
        
Bezug
3 Vektoren lin. abh. machen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Mi 16.05.2012
Autor: fred97

Stelle die 3 Vektoren in eine 3x3 - Matrix M

Die 3 Voktoren sind l.a. [mm] \gdw [/mm] det(M)=0

FRED

Bezug
        
Bezug
3 Vektoren lin. abh. machen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Mi 16.05.2012
Autor: Jack159

Ok, danke euch beiden ;)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]