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| Aufgabe | Zeigen Sie die folgenden Aussagen mit A, B [mm] \in \IR: [/mm]
1) A = A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Leftrightarrow [/mm] B [mm] \subset [/mm] A.
2) [mm] {C}(\mathcal{C}A)=A, [/mm] A [mm] \cup \mathcal{C}A [/mm] = [mm] \IR, [/mm] A [mm] \cap \mathcal{C} A=\emptyset
[/mm]
3) A [mm] \subset [/mm] B [mm] \Leftrightarrow \mathcal{C} [/mm] B [mm] \subset \mathcal{C}A. [/mm]
Hinweis: Sie durfen ein paar grundlegende Eigenschaften von Mengen verwenden, etwa (fur beliebige Mengen A,B):
a) A [mm] \subset [/mm] B und B [mm] \subset [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] A=B,
b) A [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] B,
c) x [mm] \in [/mm] A, A [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B,
d) A [mm] \subset [/mm] B und C eine Menge, dann ist A [mm] \cup [/mm] C [mm] \subset [/mm] B [mm] \cup [/mm] C sowie A [mm] \setminus [/mm] C [mm] \subset [/mm] B [mm] \setminus [/mm] C und C [mm] \setminus [/mm] B [mm] \subset [/mm] C [mm] \setminus [/mm] A.
e) A [mm] \cup [/mm] A = A,
f) A [mm] \setminus A=\emptyset,
[/mm]
g) A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] A=B,
h) Gilt x [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B, so folgt A=B. |
Hallo wieder,
zu 1:
Habe wenig Ahnung wie man dies beweist. Kann nur Bilder malen, dafür kriegt man aber keine Punkte. Also der Anfang:
zu zeigen:
a) A = A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \subset [/mm] A
b) A = A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Leftarrow [/mm] B [mm] \subset [/mm] A
Beweis: a)
A = A [mm] \cup [/mm] B:
x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B
Daraus kann man behaupten, dass wenn x [mm] \in [/mm] A dann auch x [mm] \in [/mm] B
x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
Daraus kann man behaupten, dass wenn x [mm] \in [/mm] B dann auch x [mm] \in [/mm] A
B [mm] \subset [/mm] A:
x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
((x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B)) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A)
b)
B [mm] \subset [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] A = A [mm] \cup [/mm] B
((x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B)) [mm] \Leftarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A)
zu 2:
[mm] {C}(\mathcal{C}A)=A:
[/mm]
Ich kann hier nur sagen, dass das doppelte Komplement A wiedergibt. Das ist aber kein Beweis. Hier sollte man velleicht die Eigenschaft f anwenden: A [mm] \setminus [/mm] A = [mm] \emptyset [/mm] ?
A [mm] \cup \mathcal{C}A [/mm] = [mm] \IR:
[/mm]
Hier wollte ich die Einenschaft e anwenden. Da A [mm] \cup [/mm] A = A, dann A [mm] \cup \setminus [/mm] A = [mm] \IR. [/mm]
A [mm] \cap \mathcal{C} A=\emptyset:
[/mm]
Unter den Eingeschaften gibt es nirgendwo ein Schnitt zweier Mengen. Da kann ich nur die Definition wiederholen: A [mm] \cap [/mm] B = {x [mm] \in \IR; [/mm] x [mm] \in [/mm] A UND x [mm] \in [/mm] B}. Es gibt aber kein x [mm] \in [/mm] A, der auch gleichzeitig zu [mm] \mathcal{C} [/mm] A gehören würde.
zu 3:
Sieht so wie die Monotonie der Multiplikation aus. Dies geht hier aber wohl nicht, oder?
zu zeigen wieder: A [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow \mathcal{C} [/mm] B [mm] \subset \mathcal{C} [/mm] A
und umgekehrt
Meine Aussagen sehen aber nicht wie richtige Beweise aus. Wie soll man denn so was zeigen?
Danke für jede Antwort
Liebe Grüße
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie die folgenden Aussagen mit A, B [mm]\in \IR:[/mm]
> 1) A = A [mm]\cup[/mm] B [mm]\Leftrightarrow[/mm] B [mm]\subset[/mm] A.
> 2) [mm]{C}(\mathcal{C}A)=A,[/mm] A [mm]\cup \mathcal{C}A[/mm] = [mm]\IR,[/mm] A [mm]\cap \mathcal{C} A=\emptyset[/mm]
>
> 3) A [mm]\subset[/mm] B [mm]\Leftrightarrow \mathcal{C}[/mm] B [mm]\subset \mathcal{C}A.[/mm]
>
> Hinweis: Sie durfen ein paar grundlegende Eigenschaften von
> Mengen verwenden, etwa (fur beliebige Mengen A,B):
> a) A [mm]\subset[/mm] B und B [mm]\subset[/mm] A [mm]\Leftrightarrow[/mm] A=B,
> b) A [mm]\subset[/mm] A [mm]\cup[/mm] B,
> c) x [mm]\in[/mm] A, A [mm]\subset[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B,
> d) A [mm]\subset[/mm] B und C eine Menge, dann ist A [mm]\cup[/mm] C [mm]\subset[/mm]
> B [mm]\cup[/mm] C sowie A [mm]\setminus[/mm] C [mm]\subset[/mm] B [mm]\setminus[/mm] C und C
> [mm]\setminus[/mm] B [mm]\subset[/mm] C [mm]\setminus[/mm] A.
> e) A [mm]\cup[/mm] A = A,
> f) A [mm]\setminus A=\emptyset,[/mm]
> g) A [mm]\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] A=B,
> h) Gilt x [mm]\in[/mm] A [mm]\Leftrightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B, so folgt A=B.
Aufgabe 1
>
> zu zeigen:
> a) A = A [mm]\cup[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] B [mm]\subset[/mm] A
> b) A = A [mm]\cup[/mm] B [mm]\Leftarrow[/mm] B [mm]\subset[/mm] A
Ja, das stimmt. Über beide Richtungen muß man nachdenken.
>
> Beweis: a)
>
> A = A [mm]\cup[/mm] B:
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B
> Daraus kann man behaupten, dass wenn x [mm]\in[/mm] A dann auch x
> [mm]\in[/mm] B
Behaupten kann man viel... Es stimmt leider nicht: "x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ B" heißt doch in Worten "x ist in A oder x ist in B". Mitnichten kann man daraus schließen, daß x in B ist.
Grundsätzlich ist es sinnvoll, sich am Beweisanfang klarzumachen, was die Voraussetzungen sind und wo man hin will.
zua)
Beweis: Es sei also A = A [mm]\cup[/mm] B [das ist die Voraussetzung]
zu zeigen: B [mm] \subseteq [/mm] A.
Es ist B [mm] \subseteq [/mm] A [mm]\cup[/mm] B (nach b.)
= A (nach Voraussetzung)
Also ist B [mm] \subseteq [/mm] A.
> b) A = A [mm]\cup[/mm] B [mm]\Leftarrow[/mm] B [mm]\subset[/mm] A
(Bem.: ich würde das gerade zu Anfang nicht so "verkehrt" aufschreiben - obgleich es natürlich richtig ist, wie es da steht. Man (ich!!!) kommt leichter durcheinander, gerade, wenn man noch dabei ist, zu versuchen, nicht den Überblick zu verlieren.)
Beweis: Sei B [mm]\subset[/mm] A.
zu zeigen: Dann ist A = A [mm]\cup[/mm] B .
Hierfür ist zweierlei zu zeigen i. A [mm] \subseteq [/mm] A [mm]\cup[/mm] B und
ii. A [mm]\cup[/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
zu i. das ist Aussage b) [bei den "erlaubten" Aussagen]
zu ii. Nach Voraussetzung ist B [mm]\subset[/mm] A.
[hierauf wende d) an mit C:=A] ==> ???
> zu 2:
> [mm]{C}(\mathcal{C}A)=A:[/mm]
> Ich kann hier nur sagen, dass das doppelte Komplement A
> wiedergibt.
Ja.
[mm] \mathcal{C}A [/mm] ist ja [mm] \IR [/mm] \ A.
Zu zeigen ist zweierlei
i) [mm]{C}(\mathcal{C}A) \subseteq A[/mm]
ii) A [mm] \subseteq[/mm] [mm]{C}(\mathcal{C}A) [/mm]
zu i) Ich nehme jetzt ein Element aus [mm] {C}(\mathcal{C}A) [/mm] und zeige, daß es in A liegt. dann habe ich die Teilmengenbeziehung gezeigt.
Sei x [mm] \in {C}(\mathcal{C}A)
[/mm]
==> x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] (\mathcal{C}A)
[/mm]
==> x [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \not\in (\mathcal{C}A)
[/mm]
==> x [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in [/mm] A (denn wenn x nicht im Komplement ist, bleibt ihm nichts anderes übrig, als in A zu sein.)
==> x [mm] \in [/mm] A
Somit ist die Behauptung bewiesen.
zu ii) für Dich, ebenso wie die anderen Aussagen zu 2)
> zu 3:
>Sieht so wie die Monotonie der Multiplikation aus. Dies geht hier aber wohl nicht, oder?
Mal abgesehen davon, daß ich nicht genau weiß, welche Ähnlichkeiten es da gibt: eine Multiplikation haben wir hier weit und breit nicht.
> zu zeigen wieder: A [mm]\subset[/mm] B [mm]\Rightarrow \mathcal{C}[/mm] B
> [mm]\subset \mathcal{C}[/mm] A
> und umgekehrt
Genau.
Ich zeige Dir die eine Richtung.
Beh.:A [mm]\subset[/mm] B [mm]\Rightarrow \mathcal{C}[/mm] B
> [mm]\subset \mathcal{C}[/mm] A
Bew.: Sei A [mm]\subset[/mm] B
zu [mm] zeigen:\mathcal{C}[/mm] [/mm] B [mm]\subset \mathcal{C}[/mm] A
Dies zeige ich, indem ich zeige, daßjedes Element von [mm] \mathcal{C}[/mm] [/mm] B [mm] in \mathcal{C}[/mm] A liegt.
Sei x [mm] \in \mathcal{C}[/mm] [/mm] B
==> x [mm] \in \IR [/mm] \ B
==> x [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \not\in [/mm] B
==> x [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \not\in [/mm] A (Da nach Voraussetzung A [mm]\subset[/mm] B )
Rückwärts für Dich!
Gruß v. Angela
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