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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 24.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
| Aufgabe | Berechne [mm] \integral\integral\integral_{K} z \, dxdydz [/mm] für den Tetraeder K mit den Eckpunkten
A=(0,0,0= , B=(1,0,0) , c=(0,2,1) , D=(0,0,1)
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Hallo zusammen!!
Ich bin total ratlos was ich hier überhaupt rechnen soll!![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich habe aber folgenden Lösungansatz als Hilfe bekommen, wobei ich aber nicht genau weiss, wie ich drauf komme.
[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= (\vec{AB}|\vec{AC}|\vec{AD})*\begin{pmatrix} p \\ q \\r \end{pmatrix}+\vec{0A} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} p \\ q \\r \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \\q+r \end{pmatrix}
\integral\integral\integral_{K} z dV= |det\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} |\integral_0^1\integral_0^{1-r} \integral_0^{1-q-r} q+r \, dpdqdr [/mm]
Kann mir bitte einer einen Tipp geben, wie ich solch eine Aufgabe anpacken muss?( Vorallem die Integrationsgrenzen )
LG
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Also, was da gemacht wird, ist eine koordinatentransformation.
Dein Körper liegt ja erstmal völlig schief im Raum. Durch die Transformation gehst du in einen Raum über, in dem der Ursprung bei A liegt, und die drei Seiten, die bei A beginnen, auf den Achsen liegen
Es gibt eine p-Achse, die aus AB gebildet wird, eine q-Achse, die aus AC gebildet wird, und eine r-Achse, die aus AD gebildet wird.
In diesem neuen Raum liegen die Eckpunkte bei (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) und (0,0,1). Insbesondere liegen die ersten drei Flächen in den Koordinatenachsenebenen, und die vierte ist eine Ebene mit
Guckstdu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt verläuft r zwischen 0 und 1.
Frage: wir groß darf q maximal sein sein, damit du die blaue Ebene nicht verläßt? Offenbar fängt auch q bei 0 an, aber es darf nur bis 1-r laufen, sonst bist du außerhalb des Körpers.
Gut, und was ist mit p? Auch das fängt offensichtlich bei 0 an Wenn du ein festen q und r vorgibst, wir groß darf dein p maximal sein? Nun, die Oberfläche, an die p anstößt, ist durch die Gleichung von oben gegeben: p+q+r=1. Wenn du q und r hineinsteckst, weißt du, wie groß dein p maximal werden darf.
Klar geworden?
Jetzt gibts noch ein Problem: In normalen koordinaten hat ein Würfel aus Basisvektoren das Volumen 1.
Jetzt hast du aber völlig schiefe und verzerrte Basisvektoren! (Zur Erinnerung: Diese Vektoren sind die Seiten des Tetraeders) Welches Volumen spannen die auf?
Dazu schreibst du die drei Vektoren nebeneinander, und betrachtest das wieder als Matrix. Die Determinate dieser Matrix gibt dir den Faktor an, um den das Volumenelement dieser Basis größer ist, als das deiner Standardbasis. Mit diesem Faktor mußt du dein Integral multiplizieren, um auf das richtige Volumen zu kommen.
Nochmal: Die Determinante gibt das Volumen an, das die Spaltenvektoren der MAtrix aufspannen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Naja, dazu ist vor allem in 3D meist etwas Vorstellungsvermögen erforderlich.
Versuchen wir es erstmal in 2D:
Du hast ein Dreieck, das von den Achsen und der Grade y=1-x oder auch x+y=1 gebildet wird.
x fängt also bei 0 an und hört bei 1 auf.
y fängt sicherlich auch bei 0 an, doch der maximale Wert ist auch von x abhängig, das ist die o.g. Gleichung:y=1-x
Somit kannst du die Fläche des Dreiecks so parametrisieren: [mm] $D=\{(x|y)|x \in [0;1], \\ y\in [0,(1-x)]\}$
[/mm]
Klar?
Und jetzt das 3D: Es kommt noch ein z dazu, und die Gleichung lautet x+y+z=1. oder auch z=1-x-y. Dies gibt dir wie gesagt die Höhe des Körpers über einem Punkt seiner Grundfläche. Hieraus gewinnst du die gesamte Parametrisierung aller Punkte
[mm] $D=\{(x|y|z)|x \in [0;1], \ y\in [0,(1-x)], \ z \in [0,(1-x-y)]\}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Sa 26.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo Event_Horizon!
Ich musste zwar noch etwas an der Aufgabe sitzen ; aber mitlerweile ist mir der Weg nun einigermaßen klar und ich weiss wie man nun anfangen muss!
Jedenfalls : Vielen dank für die Antwort!
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
