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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - 2x2 Jordansche Normalform
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2x2 Jordansche Normalform: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Do 10.03.2011
Autor: knuck1es

Aufgabe
Finden sie die Jordansche Normalform der Matrix
[mm] \begin{pmatrix} -7 & 9 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} [/mm]

Ich habs das char. Polynom berechnet: [mm] (x+1)^2 [/mm]
-> EW = -1 mit algebraischer Vielfachheit 2
daraus hab ich dann noch den ersten EV gefunden welcher
[mm] \begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}\vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm]

-> EV = [mm] \vektor{3\\2} [/mm]

Dann glaube ich, dass ich das Gleichungssystem

[mm] \begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}\vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{3\\2} [/mm] berechnen muss, aber ab hier bin ich mir unsicher.

Danke für die Hilfe im voraus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/

        
Bezug
2x2 Jordansche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Do 10.03.2011
Autor: MathePower

Hallo knuckles,

[willkommenmr]


> Finden sie die Jordansche Normalform der Matrix
> [mm]\begin{pmatrix} -7 & 9 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}[/mm]
>  Ich habs das char.
> Polynom berechnet: [mm](x+1)^2[/mm]
>  -> EW = -1 mit algebraischer Vielfachheit 2

>  daraus hab ich dann noch den ersten EV gefunden welcher
>  [mm]\begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
>  
> -> EV = [mm]\vektor{3\\2}[/mm]
>  
> Dann glaube ich, dass ich das Gleichungssystem
>  
> [mm]\begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> [mm]\vektor{3\\2}[/mm] berechnen muss, aber ab hier bin ich mir
> unsicher.


Genauso ist es.


>  
> Danke für die Hilfe im voraus
>  Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  http://www.matheplanet.com/


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
2x2 Jordansche Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Do 10.03.2011
Autor: knuck1es

Da bekomm ich dann [mm] \vektor{1\\1} [/mm] als Ergebnis.

Dh meine Basis ist
[mm] \left\{ \vektor{1\\1};\vektor{3\\2} \right\} [/mm]

und mein Jordansche Normalform ist

[mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm]

Stimmt das so?

und wie Zerlege ich das jetzt in S^-1 A S = [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm]

LG

Bezug
                        
Bezug
2x2 Jordansche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Do 10.03.2011
Autor: MathePower

Hallo knuck1es,

> Da bekomm ich dann [mm]\vektor{1\\1}[/mm] als Ergebnis.
>  
> Dh meine Basis ist
> [mm] \left\{ \vektor{1\\1};\vektor{3\\2} \right\}[/mm]
>  
> und mein Jordansche Normalform ist
>  
> [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
>  
> Stimmt das so?


Ja. [ok]



>  
> und wie Zerlege ich das jetzt in S^-1 A S = [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
>  


S besteht aus den ermittelten Vektoren.


> LG



Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
2x2 Jordansche Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Do 10.03.2011
Autor: knuck1es

Eine Frage haette ich noch bezüglich der quadratischen Form.
Ich benutze ein Skript einer Kollegin und bin dabei auf eine Ungereimtheit gestoßen.
Und zwar definieren wir:
q:V [mm] \to [/mm] K heißt quadratische Form wenn sie folgende zwei Eigenschaften besitzt.
(i) [mm] q(\alpha [/mm] v) = [mm] \alpha^2 [/mm] q(v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
(ii) [mm] \delta: [/mm] VxV [mm] \to [/mm] K, [mm] \delta [/mm] (v,w) = q(v + w) - q(v) - q(w) ist symmetrische Bilinearform auf V

Aber im nächsten Schritt definieren wir, wenn:
(i) q(v) = [mm] \delta [/mm] (v,v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
(ii) [mm] \delta [/mm] (v,w) = 1/2 ( q(v+w) - q(v) -q(w))
so sagen wir [mm] \delta [/mm] und q würden zueinander gehören.

Stimmt das so? Ich finde es seltsam das ich zwei verschiedene Gleichheiten habe.
Btw: Eigentlich heißt die Bilinearform Sigma, jedoch fand ich das Sigma Zeichen nicht.
LG

Bezug
                                        
Bezug
2x2 Jordansche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:19 Fr 11.03.2011
Autor: felixf

Moin!

> Eine Frage haette ich noch bezüglich der quadratischen
> Form.

Mal ganz dumm gefragt: was hat das mit der Jordanschen Normalform zu tun?

>  Ich benutze ein Skript einer Kollegin und bin dabei auf
> eine Ungereimtheit gestoßen.
>  Und zwar definieren wir:
>  q:V [mm]\to[/mm] K heißt quadratische Form wenn sie folgende zwei
> Eigenschaften besitzt.
>  (i) [mm]q(\alpha[/mm] v) = [mm]\alpha^2[/mm] q(v) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
>  (ii) [mm]\delta:[/mm] VxV [mm]\to[/mm] K, [mm]\delta[/mm] (v,w) = q(v + w) - q(v) -
> q(w) ist symmetrische Bilinearform auf V

Ja, so definiert man das fuer beliebige Koerper $K$. Aus (ii) folgt [mm] $\delta(v, [/mm] v) = 2 q(v)$.

> Aber im nächsten Schritt definieren wir, wenn:
>  (i) q(v) = [mm]\delta[/mm] (v,v) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V
>  (ii) [mm]\delta[/mm] (v,w) = 1/2 ( q(v+w) - q(v) -q(w))
> so sagen wir [mm]\delta[/mm] und q würden zueinander gehören.

Das geht nur, wenn in $K$ die $2 = 1 + 1$ nicht gleich 0 ist (also wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist, falls dir das schon was sagt). In dem Fall unterscheiden sich die beiden [mm] $\delta$s [/mm] um einen Faktor 2.

Die zweite "Definition" ist halt schoener, daman $q(v) = [mm] \delta(v, [/mm] v)$ hat (so erhaelt man meistens quadratische Formen -- wenn eben nicht $2 = 0$ in $K$ gilt). Die erste Definition hat dagegen den Vorteil, dass sie ueber jeden Koerper funktioniert. Falls $2 = 0$ in $K$ gilt, laesst sich eben nicht jede quadratische Form $q$ als $q(v) = [mm] \delta(v, [/mm] v)$ mit einer symmetrischen Bilinearform [mm] $\delta$ [/mm] darstellen.

>  Btw: Eigentlich heißt die Bilinearform Sigma, jedoch fand
> ich das Sigma Zeichen nicht.

Um [mm] $\sigma$ [/mm] zu bekommen, musst du \sigma schreiben. :)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
2x2 Jordansche Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:12 Fr 11.03.2011
Autor: felixf

Moin!

> > Finden sie die Jordansche Normalform der Matrix
> > [mm]\begin{pmatrix} -7 & 9 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}[/mm]
>  >  Ich habs das char.
> > Polynom berechnet: [mm](x+1)^2[/mm]
>  >  -> EW = -1 mit algebraischer Vielfachheit 2

>  >  daraus hab ich dann noch den ersten EV gefunden
> welcher
>  >  [mm]\begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> > [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
>  >  
> > -> EV = [mm]\vektor{3\\2}[/mm]
>  >  
> > Dann glaube ich, dass ich das Gleichungssystem
>  >  
> > [mm]\begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}\vektor{x\\y}[/mm] =
> > [mm]\vektor{3\\2}[/mm] berechnen muss, aber ab hier bin ich mir
> > unsicher.
>  
>
> Genauso ist es.

Muss man nicht, wenn man nur die JNF bestimmen will (und nicht die Transformationsmatrix) reicht es aus [mm] $\dim \ker \begin{pmatrix} -6 & 9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ [/mm] zu bestimmen. Und wenn man die Aufgabenstellung woertlich nimmt, steht dort nichts von der Transformationsmatrix. :)

Die Dimension ist hier 1, womit die JNF gleich [mm] $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ [/mm] sein muss. (Wenn die Dimension 2 waer, waer die JNF gleich [mm] $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.) [/mm]

LG Felix


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