2 konjugiert Komplexe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Integriere mit Hilfe von Partialbruchzerlegung:
1. [mm] $\frac{1}{x^{2}+4x+7}$
[/mm]
2. [mm] $\frac{2x+5}{x^{2}+4x+7}$ [/mm] |
Hallo,
[mm] $z_{1/2}$ [/mm] ausgerechnet sind : [mm] $-2\pm \sqrt{3}i$
[/mm]
Der Ansatz lautet also:
[mm] $\frac{1}{x^{2}+4x+7}=\frac{a_{1}}{z_{1}}+\frac{a_{2}}{x-z_{2}}$
[/mm]
Das kann ich jetzt ausrechnen und erhalte dann für [mm] $a_{1}$ [/mm] und [mm] $a_{2}$ [/mm] komplexe Zahlen. Und die kann ich dann auch einzeln integrieren! Das braucht aber viel Zeit? Gibt es einen kürzeren Weg, da die Nullstellen ja komplex konjugierte sind?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo,
> Integriere mit Hilfe von Partialbruchzerlegung:
> 1. [mm]\frac{1}{x^{2}+4x+7}[/mm]
>
> 2. [mm]\frac{2x+5}{x^{2}+4x+7}[/mm]
> Hallo,
>
>
> [mm]z_{1/2}[/mm] ausgerechnet sind : [mm]-2\pm \sqrt{3}i[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der Ansatz lautet also:
>
> [mm]\frac{1}{x^{2}+4x+7}=\frac{a_{1}}{z_{1}}+\frac{a_{2}}{x-z_{2}}[/mm]
Vertipper, [mm] $\frac{a_1}{z-z_1}...$
[/mm]
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> Das kann ich jetzt ausrechnen und erhalte dann für [mm]a_{1}[/mm]
> und [mm]a_{2}[/mm] komplexe Zahlen. Und die kann ich dann auch
> einzeln integrieren! Das braucht aber viel Zeit? Gibt es
> einen kürzeren Weg, da die Nullstellen ja komplex
> konjugierte sind?
Naja, wenn es über PBZ sein muss, kommst du wohl nicht daran vorbei.
Du kannst aber aufteilen: [mm] $\int{g(t) \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \int{\operatorname{Re}(g(t)) \ dt} [/mm] \ + \ [mm] i\cdot{}\int{\operatorname{Im}(g(t)) \ dt}$
[/mm]
Ohne PBZ ist's m.E. einfacher.
Mache quadratische Ergänzung im Nenner und führe es auf ein Integral [mm] $\int{\frac{1}{1+Mx^2} \ dx}$ [/mm] zurück.
Dann kannst du leicht substituieren und bekommst einen bekannten [mm] $\arctan(...)$ [/mm] raus ...
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> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
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> kushkush
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
> Mache quadratische Ergänzung im Nenner und führe es auf ein Integral
OK.
Danke!
Gruss
kushkush
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