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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - 2 differentialgleichungen
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2 differentialgleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Do 22.11.2007
Autor: beta81

Aufgabe
(1) [mm] y'=xy^2 [/mm] mit y(0)=1
(2) [mm] y'-e^{-y}sinx=0 [/mm] mit y(0)=0


hallo,

kann mir einer bitte helfen?

ich hab folgendes gerechnet:

zu (1):

[mm] \frac{y'}{y^2}=x [/mm]
[mm] \integral [/mm] dx [mm] \frac{y'}{y^2}=\integral [/mm] dy [mm] \frac{1}{y^2}=\integral [/mm] dx x
[mm] -\frac{1}{y}=\frac{1}{2}x^2+c [/mm]
[mm] y=-\frac{2}{x^2}+c [/mm]

jetzt kann ich aber die anfangsbedingung nicht einsetzten, weil das x im nenner steht. was hab ich falsch gemacht?

zu (2):

[mm] \frac{y'}{e^{-y}}=sinx [/mm]
[mm] \integral [/mm] dy [mm] \frac{1}{e^{-y}}=\integral [/mm] dx sinx
[mm] e^{y}=-cosx+c [/mm]
y=ln(-cosx)+c

hier kann ich die anfangsbedingung auch nicht einsetzten, weil im logarithmus was negatives stehen wuerde. was hab ich hier falsch gemacht?

danke!

gruss beta

        
Bezug
2 differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Do 22.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo beta,


> (1) [mm]y'=xy^2[/mm] mit y(0)=1
>  (2) [mm]y'-e^{-y}sinx=0[/mm] mit y(0)=0
>  
>
> hallo,
>  
> kann mir einer bitte helfen?
>  
> ich hab folgendes gerechnet:
>  
> zu (1):
>  
> [mm]\frac{y'}{y^2}=x[/mm]
> [mm]\integral[/mm] dx [mm]\frac{y'}{y^2}=\integral[/mm] dy
> [mm]\frac{1}{y^2}=\integral[/mm] dx x
>  [mm]-\frac{1}{y}=\frac{1}{2}x^2+c[/mm] [daumenhoch]
>  [mm]y=-\frac{2}{x^2}+c[/mm] [notok]

Du musst die rechte Seite gleichnamig machen, bevor du zum Kehrbruch übergehst:

[mm] $-\frac{1}{y}=\frac{1}{2}x^2+c=\frac{x^2+2c}{2}\Rightarrow y=-\frac{2}{x^2+2c}$ [/mm]

Dann klappts auch ;-)

>  
> jetzt kann ich aber die anfangsbedingung nicht einsetzten,
> weil das x im nenner steht. was hab ich falsch gemacht?
>  
> zu (2):
>  
> [mm]\frac{y'}{e^{-y}}=sinx[/mm]
> [mm]\integral[/mm] dy [mm]\frac{1}{e^{-y}}=\integral[/mm] dx sinx
> [mm]e^{y}=-cosx+c[/mm] [daumenhoch]
>  y=ln(-cosx)+c [notok]

Du musst doch den [mm] $\ln$ [/mm] auf die gesamte rechte Seite anwenden:

[mm] $e^{y}=-cosx+c\Rightarrow y=\ln(c-\cos(x))$ [/mm]

Also mit der Anfangsbedingung: [mm] $0=y(0)=\ln(c-\cos(0))=\ln(c-1)\Rightarrow [/mm] c=...$


>  
> hier kann ich die anfangsbedingung auch nicht einsetzten,
> weil im logarithmus was negatives stehen wuerde. was hab
> ich hier falsch gemacht?
>  
> danke!
>  
> gruss beta
>  



Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
2 differentialgleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Do 22.11.2007
Autor: beta81

hi, danke fuer die antwort!

[mm]0=y(0)=\ln(c-\cos(0))=\ln(c-1)\Rightarrow c=...[/mm]

das kann ich doch jetzt nicht mehr nach c umformen, oder? wie geht das?

gruss beta


Bezug
                        
Bezug
2 differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Do 22.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,

wieso nicht? ;-)

Du hast [mm] $\ln(c-1)=0$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow e^{\ln(c-1)}=e^0$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow....$ [/mm]


LG

schachuzipus
Bezug
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