2 Lösungswege < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das bestimmte integral [mm] \integral_{0}^{1}{(1+2x)^{3} dx} [/mm] lässt sich auf 2 Arten lösen.
Geben Sie diese an und führen Sie die nötigen Rechnungen durch |
Also für die 1. Möglichkeit bekomme ich weniger Punkte als für die andere, d.h. das eine wohl schwerer ist.
Also als 1. Möglichkeit soll man das wahrscheinlich ganz normal über die Stammfunktion lösen. Aber ich bin mir da bei der Stammfunktion nicht so sicher, habe jetzt mit F: [mm] \bruch{1}{4}(1+2x)^{4} [/mm] gerechnet.
Als 2. Möglichkeit wollen die doch bestimmt ne partielle Integration haben, oder? Da weiß ich aber nicht so richtig, wie das geht.
Kann mir da bitte jemand helfen?
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Hallo Isabell,
1. schau mal deine erste Lösung an. Die ist nämlich falsch. Leite deine Stammfunktion F(x) zur Kontrolle mal ab und du wirst feststellen dass nicht
[mm](1+2x)^{3}[/mm]
rauskommt.
2. Wie willst du hier partiell integrieren? Die Partielle Integration wird auch Produktintegration genannt. Hier gibt es aber kein Produkt.....
Versuch es mal z.B. mit Substitution oder aber du rechnest den Term [mm](1+2x)^{3}[/mm] aus und Integrierst dann.
Schöne Grüße
tomtomgo
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also, jetzt weiß ich gar nix mehr.......
ich rechne jetzt mal meine Lösung vor, das ist die einzige, die ich halbwegs hinbekommen habe.
[mm] \integral_{0}^{1}{(1+2x)^3 dx}
[/mm]
Integral vereinfachen mit t=1+2x
Jetzt sind die Funktionen g:x [mm] \to [/mm] t=1+2x und f:t [mm] \to t^3 [/mm] eingeführt
Die Stammfunktion zu f:t [mm] \to t^3 [/mm] ist F:t [mm] \to \bruch{1}{4} t^4
[/mm]
Jetzt werdenF und g verkettet:
(F [mm] \circ [/mm] g)(x)= F(g(x))= [mm] \bruch{1}{4}(1+2x)^4
[/mm]
dann nach der Kettenregel differenzieren:
[mm] (F\circ [/mm] g)'(x)=F'(t) * g'(x)= F'(g(x))*g'(x)=f(g(x))*g'(x)= [mm] t^3= (1+2x)^3
[/mm]
Der Term [mm] (1+2x)^3 [/mm] steht als Integrand unter dem Integralzeichen, also ist [mm] F\circ [/mm] g Stammfunktion zum Integranden und man erhält:
[mm] \integral_{0}^{1}{(1+2x)^3 dx}=\integral_{0}^{1}{(F\circ g)'(x) dx}
[/mm]
[mm] =(F\circ g)(1)-(F\circ g)(0)=F(g(1))-F(g(0))=\bruch{1}{4}(1+(2*1))^4 -\bruch{1}{4} (1+(2*0))^4
[/mm]
wenn das nicht stimmt, dann habe ich keine ahnung
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Hallo
[mm] \integral_{0}^{1}{(1+2x)^{3} dx}
[/mm]
das schreit doch geradezu nach Substitution
u:=1+2x
[mm] \bruch{du}{dx}=2
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2}du
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{u^{3}\bruch{1}{2}du }
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{u^{3}du }
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}*u^{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}*(1+2x)^{4} [/mm] mit Grenzen noch bekommst du 10
Steffi
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Danke für die schnelle Antwort,
wie finde ich denn bei [mm] \integral_{0}^{1}{(1+2x)^3 dx} [/mm] auf Anhieb die Stammfunktion?
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> danke sehr für die Antwort, aber welche ist jetzt die 2.
> lösungsmöglichkeit?
ganz simpel: ausmultiplizieren und dann integrieren !
Partielle Integration würde ich keinesfalls empfehlen,
aber du kannst ja einmal ausprobieren, warum ...
Gruß Al-Chw.
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Also irgendwie stimmt hier was nicht bei meiner 2. Möglichkeit.
Durch die Substitution bin ich jetzt auf den Flächeninhalt [mm] \approx [/mm] 10,1 gekommen.
Bei der 2. Möglichkeit müste ich dann ja durch Ausmultiplizieren und anschließendes Integrieren mithilfe der Stammfunktion ebenfalls 10,1 raus bekommen.
Ich bekomme da aber nicht 10, 1 raus.
Wahrscheinlich liegt mein Fehler beim Ausmultiplizieren...aber ich komme am Ende auf 13....
also die Funktion ohne den Exponenten:
(1+2x)(1+2x)(1+2x)
nach dem Ausmultiplizieren kriege ich [mm] f(x)=3+12x+12x^2
[/mm]
daraus suche ich die Stammfunktion und rechne dann einfach F(b)-F(a), also F(1)-F(0)
und da bekomme ich dann komischerweise 13 raus
kann mir bitte jemand sagen, was ich hier falsch mache?
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ich komme immer noch nicht auf das richtige ergebnis, hab bei der substitution nochmal nahgerechnet und komme immer auf 10,125
bei der anderen möglichkeit komme ich mit dem ausklammern nicht klar, weil ich nicht weiß, wie ich da klammern muss, habe hier jetzt 5 verschiedene ergebnisse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Substituiere u = 1+2x. Dann: $dx = [mm] \bruch{1}{2}du$ [/mm] und
[mm] $\integral_{}^{}{(1+2x)^3 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{u^3 du}= \bruch{1}{8}u^4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}(1+2x)^4 [/mm] =:F(x)$
Somit:
[mm] $\integral_{0}^{1}{(1+2x)^3 dx} [/mm] = F(1)-F(0) = [mm] \bruch{1}{8}*3^4-\bruch{1}{8}= \bruch{81}{8}-\bruch{1}{8}=\bruch{80}{8}= [/mm] 10$
FRED
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jetzt weiß ich leider immer noch nicht wie man bei der 2. Möglichkeit [mm] (1+2x)^3 [/mm] richtig ausklammert ............
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Hallo die Klammern sind aufzulösen
[mm] (1+2x)^{3}=(1+2x)*(1+2x)*(1+2x)
[/mm]
für (1+2x)*(1+2x) kannst du die Binomische Formel benutzen [mm] 1+4x+4x^{2}
[/mm]
jetzt
[mm] (1+4x+4x^{2})*(1+2x)=
[/mm]
oder benutze das Pascalsche Dreieck,
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Fr 26.06.2009 | | Autor: | isabell_88 |
danke sehr, jetzt habe ich verstanden, was mein problem war.
vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Do 25.06.2009 | | Autor: | isabell_88 |
danke sehr für eure hilfe
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> 2. Wie willst du hier partiell integrieren? Die Partielle
> Integration wird auch Produktintegration genannt. Hier gibt
> es aber kein Produkt.....
... natürlich gibt es eine Produktdarstellung:
[mm] (1+2x)^3=(1+2x)^2*(1+2x)
[/mm]
(empfehlen würde ich dies allerdings auch nicht,
aber möglich wäre partielle Integration durchaus)
Al-Chw.
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Hallo zusammen!
Ich möchte hier noch einen weiteren Lösungsweg anführen, der sehr einfach und schnell funktioniert: Das Simpson-Verfahren.
Dieses funktioniert besonders bei komplizierten Integralen gut, da die Möglichkeit eines versehentlich begangenen Rechenfehlers doch recht gering ist.
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> Hallo zusammen!
>
> Ich möchte hier noch einen weiteren Lösungsweg anführen,
> der sehr einfach und schnell funktioniert: Das
> Simpson-Verfahren.
Hallo,
das Simpsonverfahren fände ich hier völlig unpassend.
Mit dem Simpsonverfahren berechnet man Integrale näherungsweise, hier ist jedoch eine exakte Lösung gesucht.
Das Integral ist ja auch nicht so schwer, daß man es näherungsweise berechnen müßte.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Ich möchte hier noch einen weiteren Lösungsweg anführen,
> der sehr einfach und schnell funktioniert: Das
> Simpson-Verfahren.
Aber auch nur, weil in obiger Aufgabe über ein Polynom vom Grad 3 zu integrieren war !
FRED
>
> Dieses funktioniert besonders bei komplizierten Integralen
> gut, da die Möglichkeit eines versehentlich begangenen
> Rechenfehlers doch recht gering ist.
>
>
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> Aber auch nur, weil in obiger Aufgabe über ein Polynom vom
> Grad 3 zu integrieren war !
>
> FRED
Was wäre denn schlimmer?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie Angela schon sagte:
Mit dem Simpsonverfahren berechnet man Integrale näherungsweise.
Es ist
[mm] $\integral_{0}^{1}{x^4 dx}= [/mm] 1/5$
Das Simpsonverfahren liefert aber "nur": [mm] \bruch{5}{24}
[/mm]
Oder:
[mm] $\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}= [/mm] 2$
Simpsonverfahren: [mm] \bruch{2}{3}\pi
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Zur Information:
Ist f viermal stetig differenzierbar in [a,b], dann gilt für den Fehler F(f), den man sich mit dem Simpsonverfahren einhandelt, die Abschätzung
$| F(f)| [mm] \le \frac{(b-a)^5}{2880} \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|}.$
[/mm]
FRED
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> Hallo zusammen!
>
> Ich möchte hier noch einen weiteren Lösungsweg anführen,
> der sehr einfach und schnell funktioniert: Das
> Simpson-Verfahren.
>
> Dieses funktioniert besonders bei komplizierten Integralen
> gut, da die Möglichkeit eines versehentlich begangenen
> Rechenfehlers doch recht gering ist.
Hallo Spielgestalter,
bei der vorliegenden Aufgabe war wohl nicht
eine Methode aus der numerischen Mathematik
gefragt, sondern eine "exakte" Integration mit
Stammfunktion.
Möglicherweise hast du aber daran gedacht, dass
im vorliegenden Fall, wo es sich beim Integranden
"nur" um eine kubische Funktion handelt, das
Simpsonverfahren tatsächlich die exakte Lösung
für das bestimmte Integral liefert !
Dies ginge dann so:
$\ [mm] I=\integral_{0}^{1}\underbrace{(1+2x)^3}_{f(x)}\,dx\ [/mm] =\ ?$
$\ a=0\ ;\ b=1\ ;\ f(a)=f(0)=1\ ;\ [mm] f\left(\bruch{a+b}{2}\right)=f(0.5)=8\ [/mm] ;\ f(b)=f(1)=27$
$\ [mm] I=\bruch{b-a}{6}\left(f(a)+4*f\left(\bruch{a+b}{2}\right)+f(b)\right)=\bruch{1}{6}*(1+4*8+27)=10$
[/mm]
Es funktioniert also wirklich ! (***)
...und zwar für alle linearen, quadratischen und
kubischen Integranden - damit ist ein gewißer
Teil der in der Schule so auftretenden Integrale
schon abgedeckt .... also hätte man damit zu-
mindest ein praktisches Kontrollverfahren, wenn
trotzdem die ausführliche Lösung verlangt ist 
Gruß Al-Chwarizmi
(***) ...und dieses Beispiel ist wirklich wie dazu
geschaffen, um dies zu illustrieren !
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So, jetzt müssen wir das Thema aber tot kriegen.
Als ich vorhin die Antwort mit dem darin enthaltenen Vorschlag "Simpson Verfahren" gemacht hatte, hatte ich das Integral zunächst auch exakt bestimmt. Das ist ja auch der naheliegende Weg.
Ich wollte dann aber auch einen Bogen zur numerischen Integration aufspannen, da hier nach 2 Lösungswegen gefragt ist. Und numerische Integration ist definitiv ein Lösungsweg- auch wenn er bei anderen Integralen, bei diesem ja nicht, eine Abweichung zum exakten Ergebnis liefert.
Das Simpson Verfahren kann man aber bei einem Großteil der Schulaufgaben verwenden- gerade auch, wenn man Schwächen in der Integralrechnung hat, als "Vergleichswert" für den exakt ermittelten Wert. Das spart einem Ärger und böse Überraschungen. Man kann sich quasi selbst überprüfen (bei Hausaufgaben wie dieser oder in der Klausur auf Schmierpapier...)!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> So, jetzt müssen wir das Thema aber tot kriegen.
Noch nicht ganz
>
> Als ich vorhin die Antwort mit dem darin enthaltenen
> Vorschlag "Simpson Verfahren" gemacht hatte, hatte ich das
> Integral zunächst auch exakt bestimmt. Das ist ja auch der
> naheliegende Weg.
>
> Ich wollte dann aber auch einen Bogen zur numerischen
> Integration aufspannen, da hier nach 2 Lösungswegen gefragt
> ist. Und numerische Integration ist definitiv ein
> Lösungsweg- auch wenn er bei anderen Integralen, bei diesem
> ja nicht, eine Abweichung zum exakten Ergebnis liefert.
>
> Das Simpson Verfahren kann man aber bei einem Großteil der
> Schulaufgaben verwenden-
Werden denn in der Schule nur Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 integriert ??
> gerade auch, wenn man Schwächen in
> der Integralrechnung hat,
Dann sollte man sehen, dass man diese Schwächen behebt
> als "Vergleichswert" für den
> exakt ermittelten Wert. Das spart einem Ärger und böse
> Überraschungen. Man kann sich quasi selbst überprüfen (bei
> Hausaufgaben wie dieser oder in der Klausur auf
> Schmierpapier...)!
aber nur, wenn man Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 integriert
FRED
>
>
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> > numerische Integration ist definitiv ein Lösungsweg,
> > auch wenn er bei anderen Integralen, bei diesem
> > ja nicht, eine Abweichung zum exakten Ergebnis liefert.
> >
> > Das Simpson Verfahren kann man aber bei einem Großteil der
> > Schulaufgaben verwenden
>
> Werden denn in der Schule nur Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3
> integriert ??
> > Das Simpson Verfahren kann man aber bei einem
> > Großteil der Schulaufgaben verwenden- gerade auch,
> > wenn man Schwächen in der Integralrechnung hat,
> > als "Vergleichswert" für den exakt ermittelten Wert.
> > Das spart einem Ärger und böse Überraschungen.
> > Man kann sich quasi selbst überprüfen!
>
> aber nur, wenn man Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3 integriert
>
>
> FRED
Hallo Fred,
Dass man in der Schule mit dem Integrieren bei
den Polynomen beginnt, ist ja wohl klar.
Ebenso, dass der große Teil der dazu gestellten
Übungsaufgaben mit linearen, quadratischen und
kubischen Funktionen zu tun hat.
Es kommt sicher vor, dass für Integralrechnung
mit weiteren Funktionsarten (Wurzeln, gebrochen
rational, trigonometrisch, exponentiell, logarith-
misch) nur wenig Zeit bleibt.
Aber auch dann könnte in manchen Fällen bei
geeigneten, kleinen Integrationsintervallen,
(Brook Taylor, Zeitgenosse von Thomas Simpson,
lässt grüßen ! ) die Simpsonformel tatsäch-
lich eine Hilfe sein, um wenigstens ganz grobe
Fehler zu entdecken.
Gruß Al-Chwarizmi
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