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Hallo,
die hinreichende Bedingung für eine relative Extremstelle ist y'' ungleich null...
Was ist wenn die 2. Ableitung kein Argument mehr enthält so wie bei:
[mm] y=x^2
[/mm]
y'=2x
y''=2
LG und besten Dank im Voraus...
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> Hallo,
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> die hinreichende Bedingung für eine relative Extremstelle
> ist y'' ungleich null...
> Was ist wenn die 2. Ableitung kein Argument mehr enthält
> so wie bei:
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> [mm]y=x^2[/mm]
>
> y'=2x
>
> y''=2
>
> LG und besten Dank im Voraus...
In deinem Fall hast du eine nach oben geöffnete Parabel, die im Ursprung einen Tiefpunkt besitzt.
Mit den entsprechenden Bedingungen:
[mm] $f'(x_0=0)=0 \wedge f''(x_0=0)>0$
[/mm]
folgt für dich, dass es sich bei besagtem Punkt um einen relativen (und hier auch) globalen Tiefpunkt handelt.
Nun betrachten wir dein Problem aber mal aus allgemeiner Sicht und schauen und die Quadratische Funktion:
[mm] $f(x)=ax^2$
[/mm]
an.
Für $a>0$ erhälst du einen nach oben geöffnete Parbel.
Für $a<0$ eine nach unten geöffnete Parabel.
In deinem obigen Beispiel ist a=1.
Nun bilden wir die Ableitungen:
[mm] $f(x)=ax^2$
[/mm]
[mm] $f'(x)=2\cdot a\cdot [/mm] x$
$f''(x)= [mm] 2\cdot [/mm] a$
Wie du siehst, erhälst du für $a>0$ jeweils eine zweite Ableitung, die positiv ist. Der vorliegende Extrempunkt in der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ist also für diesen Fall immer ein Tiefpunkt.
Ist a hingegen negativ, so erhälst du eine zweite Ableitung, die für alle x negativ ist.
Es liegt also für alle $a<0$ ein relativer (wiederum global) Extrempunkt in Form eines Hochpunktes vor.
Graphisch kannst du dir das auch schnell klar machen, wenn du dir zum Beispiel die beiden Parabeln:
1. [mm] $f(x)=2x^2$
[/mm]
und
2. [mm] $f(x)=-3x^2$
[/mm]
in ein Koordinatensystem zeichnest und jeweils die Ableitungen und Extrempunkte bestimmst.
Valerie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Sa 21.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> die hinreichende Bedingung für eine relative Extremstelle
> ist y'' ungleich null...
Das stimmt nicht, du formulierst sehr unsauber und unvollständig. Es ist nicht DIE hinreichende Bedingung, sondern ein unvollständiger Teilaspekt EINER MÖGLICHEN hinreichenden Bedingung.
>
> Was ist wenn die 2. Ableitung kein Argument mehr enthält
> so wie bei:
>
> [mm]y=x^2[/mm]
>
> y'=2x
>
> y''=2
Ist 2 gleich Null oder ist 2 ungleich Null?
Das beantwortet den Kern deiner Frage.
Gruß Abakus
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> LG und besten Dank im Voraus...
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