2-dim. Volumen mit Cavalieri < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Do 08.09.2005 | | Autor: | westpark |
Hallo,
mittels des Cavalierischen Prinzips soll ich das 2-dim. Volumen der folgenden Menge bestimmen:
M:= {(x,y) [mm] \in \IR² [/mm] | x [mm] \in [/mm] [-1,1], y [mm] \le \wurzel{1+x²}, [/mm] y [mm] \ge [/mm] -2x-2, y [mm] \ge [/mm] 2x-2}
M ist messbar, da abgeschlossen.
Ich habe M skizziert und setze
M(x) = {y [mm] \in \IR [/mm] | -2x-2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] wurzel{1+x²} } =:M1, falls x [mm] \in [/mm] [-1,0]
M(x) = {y [mm] \in \IR [/mm] | 2x-2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] wurzel{1+x²} }=:M2, falls x [mm] \in [/mm] [0,1]
M(x) = Ø, sonst
Für alle x [mm] \in [/mm] [-1,0] gilt dann: Maß(M1) =
und an der Stelle komme ich nicht weiter.
Maß(M1) ist ja die Fläche zwischen 2 Graphen, daher hätte ich sie einfach wie folgt bestimmt:
Maß(M1) = [mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] {wurzel{1+x²} - (-2x-2) dx}
[Formal wäre es: [mm] \lambda_{2}(M) [/mm] = [mm] \integral_{[-1,0]}^{} {\lambda(M1) d\lambda}, [/mm] korrekt? ..wobei [mm] \lambda(M1) [/mm] = wurzel{1+x²} - (-2x-2), ist das richtig? Und weil f stetig über dem Kompaktum M1 ist, ist M1 messb. und f auf M1 Lebesgue-integrierbar und es folgt, dass dieses L-Integral gleich dem Riemann-Integral ist, welches ich oben angegeben habe?]
Analog für M2 und dann einfach beide Maße aufaddiert. Aber ob das richtig ist, weiß ich nicht, v.a. weil das Integral über wurzel{1+x²} ohne Hilfsmittel gar nicht so leicht zu bestimmen ist.
Könnte mir daher jemand sagen, wie es an obiger "Sackgasse" weitergeht oder auf die oben genannten Leitfragen eingehen?
Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen verbleibend
westpark.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Was Du geschrieben hast, ist alles richtig, Du hast auch die Schnitte auf Höhe x richtig bestimmt (obere Funktionsgrenze minus untere Funktionsgrenze).
Wenn Du jetzt übrigens siehst, dass $-2*x-2, -1<x<0$ und $2*x-2, 0<x<1$ nichts anderes ist als $2*|x|-2$, siehst Du auch, dass die beiden Flügel dieses "Pfeils" dasselbe Volumen haben, [mm] $\wurzel{1+x^2}$ [/mm] ist aber in der Tat nicht ohne weiteres zu integrieren ^^;
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