1/x^2 stetig fortsetzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 02.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion:
f: [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} \rightarrow \IR \quad f(x)=1/x^2
[/mm]
Zeige dass f nicht stetig auf ganz [mm] \IR [/mm] fortgesetzt werden kann. |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich habe:
Angen. f wäre stetig auf [mm] \IR [/mm] fortsetzbar.
[mm] \Rightarrow \exists g:\IR \rightarrow \IR [/mm] mit:
g(x)=f(x) [mm] \quad \forall x\not= [/mm] 0 [mm] \quad [/mm] und
g stetig auf [mm] \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] ! [mm] \limes_{n\rightarrow 0}g(x)=g(0)
[/mm]
Sei [mm] (x_n) [/mm] Nullfolge in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] mit [mm] x_n>0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Sei [mm] (y_n) [/mm] Nullfolge in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] mit [mm] x_n<0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann wäre
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/(x_n)^2 [/mm] = [mm] \infty \quad [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(y_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(y_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/(y_n)^2 [/mm] = [mm] \infty [/mm]
also wäre
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}g(x) [/mm] = g(0) = [mm] \infty
[/mm]
da aber [mm] \infty \not\in \IR [/mm] und g offenbar an der Stelle 0 nicht definiert ist, können wir auch nicht von stetigkeit von g sprechen.
Somit ist f nicht stetig fortsetzbar.
Richtig so??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion:
> f: [mm]\IR[/mm] \ [mm]\{0\} \rightarrow \IR \quad f(x)=1/x^2[/mm]
>
> Zeige dass f nicht stetig auf ganz [mm]\IR[/mm] fortgesetzt werden
> kann.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Also ich habe:
>
> Angen. f wäre stetig auf [mm]\IR[/mm] fortsetzbar.
> [mm]\Rightarrow \exists g:\IR \rightarrow \IR[/mm] mit:
>
> g(x)=f(x) [mm]\quad \forall x\not=[/mm] 0 [mm]\quad[/mm] und
> g stetig auf [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] ! [mm]\limes_{n\rightarrow 0}g(x)=g(0)[/mm]
und zwar $g(0) [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Was soll dieses Ausrufezeichen nach dem [mm] $\exists$? [/mm] Dass genau ein
Grenzwert existiert, wenn einer existiert, ist klar. Wir sind in einem
metrischen Raum! Und Du meinst sicher nicht [mm] $\red{n} \to 0\,,$
[/mm]
sondern $x [mm] \to [/mm] 0$ beim Limes von [mm] $g(x)\,$... [/mm] Aber das ist sicher dem
Formeleditor und einer vergessenen Umbenennung nur zuzuschreiben!
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] Nullfolge in [mm]\IR[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] mit [mm]x_n>0 \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Sei [mm](y_n)[/mm] Nullfolge in [mm]\IR[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] mit [mm]\red{x_n<0} \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
Da hast Du Dich vertippt, Du meinst:
[mm] $$y_n [/mm] < 0$$
> Dann wäre
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1/(x_n)^2[/mm] = [mm]\infty \quad[/mm] und
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(y_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(y_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1/(y_n)^2[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> also wäre
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}g(x)[/mm] = g(0) = [mm]\infty[/mm]
Wieder das mit dem [mm] $n\,$ [/mm] unter dem Limeszeichen!
> da aber [mm]\infty \not\in \IR[/mm]
Man weiß, was Du meinst, wenn Du das so schreibst, aber schreibe lieber
eine Begründung, warum der Grenzwert [mm] $\lim_{x \to 0}g(x)$ [/mm] nicht ex.
kann (etwa weil [mm] $(g(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt, also
unbeschränkt ist!).
> und g
aufgrund der obigen Überlegungen
> offenbar an der Stelle 0
> nicht definiert ist
Doch, das war doch die Annahme, dass man einen passenden Wert
$g(0) [mm] \in \IR$ [/mm] so angeben könne, dass [mm] $g\,$ [/mm] dort stetig wäre. Aber diese
muss nun verworfen werden!
> , können wir auch nicht von stetigkeit
> von g sprechen.
>
> Somit ist f nicht stetig fortsetzbar.
>
> Richtig so??
Ja, bis auf ein paar Vertipper. Aber es ist auch (minimal) umständlich:
Zum einen: Es reicht vollkommen, wenn Du zeigst,
dass [mm] $g\,$ [/mm] schon etwa nicht rechtsseitig stetig in [mm] $0\,$ [/mm] sein kann.
Zum anderen:
Du brauchst auch nicht mit allgemeinen Nullfolgen zu arbeiten - denn Du
willst ja die Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] widerlegen.
(Aber Deine obige Arbeit ist - bis auf Kleinigkeiten - schon richtig, das sei nochmal(!!) erwähnt!)
Also: Sei [mm] $f\,$ [/mm] wie oben, und angenommen, [mm] $g\,$ [/mm] wäre eine stetige
Fortsetzung von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR\,.$ [/mm] Insbesondere gilt also [mm] $g(x)=f(x)\,$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,,$ [/mm] und nach Annahme ist [mm] $g\,$ [/mm]
insbesondere stetig in [mm] $0\,.$ [/mm] Dann gibt es also ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $g(0)=a\,.$ [/mm] Wir zeigen, dass [mm] $g\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $0\,$ [/mm] sein kann.
Es ist also zu zeigen:
Es gibt eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \not=0$ [/mm] und [mm] $x_n \to 0\,$ [/mm] so, dass
[mm] $g(x_n) \not\to a\,.$
[/mm]
Wir setzen [mm] $x_n:=1/n\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $x_n \not=0$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] es gilt
[mm] $x_n \to [/mm] 0$ - ABER:
Es kann nicht [mm] $g(x_n) \to a\,$ [/mm] gelten, da [mm] $g(x_n)=f(1/n)=1/(1/n^2)=n^2$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, aber [mm] $(n^2)_{n \in \IN}$ [/mm] als unbeschränkte Folge
in [mm] $\IR$ [/mm] nicht konvergent sein kann.
(Strenggenommen haben wir eigentlich sogar gezeigt, dass [mm] $g\,$ [/mm] schon
nicht rechtsseitig stetig an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] sein kann. Das reicht auch,
denn wäre [mm] $g\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,,$ [/mm] so würde dies bei [mm] $g\,$ [/mm] insbesondere
besagen, dass [mm] $g\,$ [/mm] sowohl rechtsseitig ALS AUCH linksseitig stetig in [mm] $0\,$
[/mm]
wäre.
Die Kontraposition davon lautet: Ist [mm] $g\,$ [/mm] NICHT rechtsseitig ODER NICHT
linksseitig stetig in [mm] $0\,,$ [/mm] so kann auch [mm] $g\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $0\,$ [/mm] sein!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mi 03.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke Marcel!
Dein Beitrag hat mir sehr geholfen :)
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