1 AbleitungExponentialfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 23.01.2009 | | Autor: | kris_80 |
| Aufgabe | Gegeben ist die folgende Exponenzialfunktion:
[mm] y=f(x)=(x^2-x-6)*e^-0,5x
[/mm]
Gesucht sind die lokalen Extrempunkte (einschl. Nachweis)
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Ich habe ein Problem mit der 1. Ableitung.
es gilt ja: f´= u´v + uv´
und da habe ich das draus gemacht:
f´(x) = 2x-1*e^-0,5x + [mm] (x^2-x-6)*-0,5*e^-0,5x
[/mm]
f´(x) = [mm] (2x-1+(x^2-x-6)*-0,5)*e^-0,5x
[/mm]
f´(x) = [mm] (2x-1+-0,5x^2+0,5x+3)*e^-0,5x
[/mm]
Ab hier scheitere ich jetzt aber leider.
Ich muss das doch jetzt ausmultiplizieren, oder?
Um die Extrempunkte ausrechnen zu können brauch ich ja eine ganz normale gleichung.
Kann mir bitte jemand helfen? Das wäre sehr nett. Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kris_80,
> Gegeben ist die folgende Exponenzialfunktion:
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> [mm]y=f(x)=(x^2-x-6)*e^-0,5x[/mm]
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> Gesucht sind die lokalen Extrempunkte (einschl. Nachweis)
>
>
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> Ich habe ein Problem mit der 1. Ableitung.
>
> es gilt ja: f´= u´v + uv´
>
> und da habe ich das draus gemacht:
>
> f´(x) = 2x-1*e^-0,5x + [mm](x^2-x-6)*-0,5*e^-0,5x[/mm]
> f´(x) = [mm](2x-1+(x^2-x-6)*-0,5)*e^-0,5x[/mm]
> f´(x) = [mm](2x-1+-0,5x^2+0,5x+3)*e^-0,5x[/mm]
>
> Ab hier scheitere ich jetzt aber leider.
> Ich muss das doch jetzt ausmultiplizieren, oder?
Schreibe den Ausdruck in der Klammer etwas kompakter.
> Um die Extrempunkte ausrechnen zu können brauch ich ja eine
> ganz normale gleichung.
>
Ein Produkt aus 2 Faktoren wird Null,
wenn einer der beiden Faktoren Null ist.
> Kann mir bitte jemand helfen? Das wäre sehr nett. Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 23.01.2009 | | Autor: | kris_80 |
Leider war ich noch nie ein Mathegenie!
Mein Problem liegt gerade darin den Klammerausdruck kompakter zu schreiben. Was kann ich denn mit was addieren / subtrahieren und was wird dann aus dem Exponent?
das wäre mein Versuch:
f´(x) = [mm] (-0,5x^2+0,5x+4)*e^-0,5
[/mm]
Bitte um Hilfe!
Grüße Kris_80
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Fr 23.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] f(x)=(x²-x-6)e^{-\bruch{x}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=(x²-x+6)\left(-\bruch{1}{2}*e^{-\bruch{x}{2}}\right)+(2x-1)*e^{-\bruch{x}{2}}
[/mm]
[mm] =e^{-\bruch{x}{2}}*\left[-\bruch{1}{2}x²+\bruch{1}{2}x-3+2x-1\right]
[/mm]
[mm] =e^{-\bruch{x}{2}}*\left[-\bruch{1}{2}x²+\bruch{5}{2}x-4\right]
[/mm]
Versuche davon ausgehend jetzt mal die zweite Ableitung, die du für die hinreichende Bedingung des Extremas brauchst.
Für die Notwendige Bedingung gilt ja: f'(x)=0.
Also hier:
[mm] e^{-\bruch{x}{2}}*\left[-\bruch{1}{2}x²+\bruch{5}{2}x-4\right]=0
[/mm]
Da [mm] e^{\Box}\ne0, [/mm] kann nur der Faktor [mm] -\bruch{1}{2}x²+\bruch{5}{2}x-4=0 [/mm] werden
Diese Gleichung zu lösen überlasse ich jetzt wieder dir.
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Fr 23.01.2009 | | Autor: | kris_80 |
Ich habe mich an der 2. Ableitung versucht, bin mir aber überhaupt nicht sicher. Es war schon schwer die 1. Ableitung nachzuvollziehen.
das habe ich bei der 2. Ableitung raus:
f´´(x) = [mm] e^-0,5*(0,25x^2-2,25x+0,5)
[/mm]
und bei der Lösung von f´(x) habe ich 2 Punkte raus.
-1,27 und 6,27
Kann das stimmen?
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Hallo,
Ich habe bei der ersten Ableitung etwas anderes heraus als MathePower M.Rex da er einen kleinen Fehler beim abschreiben gemacht hat.
Und zwar habe ich:
[mm] \\f'(x)=e^{-0,5x}(-0,5x²+2,5x\red{+2}) [/mm] heraus.
Demnach ist deine zweite Ableitung auch etwas falsch. Aber ich kann dich beruhigen. Du hast MathePowers M.Rex 1.Ableitung richtig abgeleitet 
Die zweite Ableitung lautet:
[mm] \\f''(x)=e^{-0,5x}(0,25x²-2,25x+1,5)
[/mm]
notwendige Bedingung [mm] \\f'(x)=0
[/mm]
[mm] e^{-0,5x}(-0,5x²+2,5x+2)=0 [/mm]
Der erste Faktor, also [mm] e^{-0,5x} [/mm] wird nie 0. Betrachte nun den 2. Faktor:
[mm] \\-0,5x²+2,5x+2=0
[/mm]
Diese Gleichung teilst du durch -0,5 um dann die pq-Formel verwenden zu können. Die erechneten Lösungen in die 2.Ableitung einsetzen um entscheiden zu können welche Art des Extremums vorliegt
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Fr 23.01.2009 | | Autor: | kris_80 |
Super! Vielen, vielen Dank!
Ich habe gleich mal noch die 3. Ableitung versucht. Wäre diese richtig?
f´´´(x) = [mm] e^-0,5x*(-0,125x^2+1,625x-3)
[/mm]
Grüße kris_80
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Hallo,
> Super! Vielen, vielen Dank!
>
> Ich habe gleich mal noch die 3. Ableitung versucht. Wäre
> diese richtig?
>
> f´´´(x) = [mm]e^-0,5x*(-0,125x^2+1,625x-3)[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Grüße kris_80
Gruß
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:29 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Marius,
> Hallo
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> [mm]f(x)=(x²-x-6)e^{-\bruch{x}{2}}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=(x²-x\red{-}6)\left(-\bruch{1}{2}*e^{-\bruch{x}{2}}\right)+(2x-1)*e^{-\bruch{x}{2}}[/mm]
>
> [mm]=e^{-\bruch{x}{2}}*\left[-\bruch{1}{2}x²+\bruch{1}{2}x\red{+}3+2x-1\right][/mm]
>
> [mm]=e^{-\bruch{x}{2}}*\left[-\bruch{1}{2}x²+\bruch{5}{2}x\red{+2}\right][/mm]
>
> Versuche davon ausgehend jetzt mal die zweite Ableitung,
> die du für die hinreichende Bedingung des Extremas
> brauchst.
>
> Für die Notwendige Bedingung gilt ja: f'(x)=0.
> Also hier:
>
> [mm]e^{-\bruch{x}{2}}*\left[-\bruch{1}{2}x²+\bruch{5}{2}x-4\right]=0[/mm]
> Da [mm]e^{\Box}\ne0,[/mm] kann nur der Faktor
> [mm]-\bruch{1}{2}x²+\bruch{5}{2}x-4=0[/mm] werden
>
> Diese Gleichung zu lösen überlasse ich jetzt wieder dir.
>
> >
>
> Marius
Gruß
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