16te Wurzel aus Pi < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe ist es die 16te Wurzel aus Pi approximativ zu berechnen durch Angabe eines geeigneten Algorithmus.
Nun habe ich also versucht den Algorithmus zur Berechnung der Quadratwurzel aus y (also: [mm] x_{n+1} [/mm] = 1/2 [mm] (x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x_{n}} [/mm] ) als Ansatz zu verwenden.
Damit hätte ich gedacht, daß also [mm] x_{n+1} [/mm] = 1/2 [mm] (x_{n}^{15} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x_{n}^{15}} [/mm] ) der gesuchte Algorithmus sein könnte. Haut nur leider überhaupt nicht hin. Eine andere Idee hab ich nicht. Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Di 17.05.2005 | | Autor: | lumpi |
Hallo!
hast du es mal mit der taylorformel versucht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Happiness
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> Aufgabe ist es die 16te Wurzel aus Pi approximativ zu
> berechnen durch Angabe eines geeigneten Algorithmus.
> Nun habe ich also versucht den Algorithmus zur Berechnung
> der Quadratwurzel aus y (also: [mm]x_{n+1}[/mm] = 1/2 [mm](x_{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{x_{n}}[/mm] ) als Ansatz zu verwenden.
> Damit hätte ich gedacht, daß also [mm]x_{n+1}[/mm] = 1/2 [mm](x_{n}^{15}[/mm]
> + [mm]\bruch{y}{x_{n}^{15}}[/mm] ) der gesuchte Algorithmus sein
> könnte. Haut nur leider überhaupt nicht hin. Eine andere
> Idee hab ich nicht. Kann mir jemand helfen?
>
Deine Idee ist ja schon gut, sie müsste nur etwas verfeinert werden.
Das Newtonverfahren zur Berechnung einer Nullstelle der Funktion $f(x)_$ ist ja so:
[mm] $x_{x+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}$
[/mm]
Auf das Ziehen der Quadratzahl aus $c_$ angewandt heisst das: es ist ein $x_$ gesucht, so dass diese Gleichung erfüllt ist:
[mm] $x^2-c=0$
[/mm]
Hier liefert das Newton-Verfahren:
[mm] $x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^2-c}{2x_n}=\bruch{1}{2}*(x_n+\bruch{c}{x_n})$
[/mm]
Für die k-te Wurzel gilt also:
[mm] $x^k-c=0$
[/mm]
[mm] $x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^k-c}{kx_n^{k-1}}=\bruch{kx_n^k-x_n^k+c}{kx_n^k-1}=\bruch{1}{k}((k-1)x_n+\bruch{c}{x_n^{k-1}})$
[/mm]
Für $k=2_$ bekommst du gerade deine Formel für die Quadratwurzel, für $k=16_$ und [mm] $c=\pi$ [/mm] bekommst du die Formel, die bei deinem Problem zum Erfolg verhelfen sollte:
[mm] $x_{n+1}=\bruch{1}{16}(15x_n+\bruch{\pi}{x_n^{15}})$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Di 17.05.2005 | | Autor: | Happiness |
Danke für die Hilfe!
Ist nachvollziehbar und hat super geklappt!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Paul,
müsste man nicht am Besten direkt eine Funktion mit Nullstelle [mm] $\sqrt[16]{\pi}$ [/mm] suchen. So etwas wie [mm] $f(x)=\sin\left(x^{16}\right)$?
[/mm]
Dann kann man
[mm] $x_{n+1}=x_n-\frac{16x_n^{15}\cos\left(x_n^{16}\right)}{\sin\left(x_n^{16}\right)}$ [/mm] nutzen.
Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Max
Heute ist aber nicht etwa LOST? 
> Hallo Paul,
>
> müsste man nicht am Besten direkt eine Funktion mit
> Nullstelle [mm]\sqrt[16]{\pi}[/mm] suchen. So etwas wie
> [mm]f(x)=\sin\left(x^{16}\right)[/mm]?
>
Ja, das wäre natürlich auch eine Möglichkeit.
Der Plobleme sind aber zwei. Das Schwerwiegendere ist dieses, dass da gar keine Nullstelle ist! LOST-Effekt!
Man müsste schon den Cosinus nehmen!
Das zweite Problem, das aber nicht so sehr ins Gewicht fällt, ist dieses: der Cosinus und der Sinus lassen sich nur, mindestens theoretisch, mit einer unendlichen Potenzreihe berechnen. Aus diesem Grunde scheit es schon sinnvoller zu sein, das Babylonische Verfahren anzuwenden.
Aber doch noch ein Punkt für dich, und der hebt das zweite Problem wieder vollständig auf: nach meiner Methode muss man der Wert von [mm] $\pi$ [/mm] kennen, nach deiner Methode hingegen nicht.
Schliessen wir also einen Kompromiss:
wir gebrauchen zwar deine Methode, nehmen dazu aber die richtige Funktion! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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