1. & 2. Ableitung bestimmen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 So 29.08.2010 | | Autor: | Nico. |
| Aufgabe | | [mm] x_{t}=-\bruch{l}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2}} [/mm] |
Hallo,
ich bin grade dabei für die genannte Aufgabe die erste und zweite Ableitung zu bestimmen.
Die erste Ableitung von [mm] x_{t} [/mm] sei [mm] v_{t}:
[/mm]
[mm] x_{t}=-\bruch{l}{2}+(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Substiution mit u:
[mm] u=\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=2*V_{A}^{2}t
[/mm]
dx= [mm] 2*V_{A}^{2}t [/mm] du
[mm] x_{t}=-\bruch{l}{2}+(u)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] v_{t}= 2*V_{A}^{2}*t*\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] v_{t}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ist das Ergebnis richtig?
Bei der zweiten Ableitung tue ich mich sehr schwer einen Anfang zu finden.
Könnt ihr mich bitte anschupsen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Gruß Nico
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> [mm]x_{t}=-\bruch{l}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin grade dabei für die genannte Aufgabe die erste und
> zweite Ableitung zu bestimmen.
>
> Die erste Ableitung von [mm]x_{t}[/mm] sei [mm]v_{t}:[/mm]
>
> [mm]x_{t}=-\bruch{l}{2}+(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Substiution mit u:
>
> [mm]u=\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=2*V_{A}^{2}t[/mm]
>
> dx= [mm]2*V_{A}^{2}t[/mm] du
>
> [mm]x_{t}=-\bruch{l}{2}+(u)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]v_{t}= 2*V_{A}^{2}*t*\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]v_{t}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Ist das Ergebnis richtig?
ja ist richtig.. was die substitution da soll ist für mich dennoch fragwürdig, und sieht nach mehr arbeit aus als stur nach der kettenregel vorzugehen.
>
> Bei der zweiten Ableitung tue ich mich sehr schwer einen
> Anfang zu finden.
> Könnt ihr mich bitte anschupsen?
also mehr als produkt- und quotientenregel brauchst du dort nicht
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
>
> Gruß Nico
gruß tee
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:49 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Nico. |
Ok Danke
Ich habe für die zweite Ableitung nach t wie folgt gerechnet:
[mm] v_{(t)}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Für die Produktregel hab ich u(x) und v(x) verwendet
u(x) = [mm] V_{A}^{2}*t [/mm]
u'(x) = [mm] V_{A}^{2} [/mm]
v(x) [mm] =(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
v'(x) = [mm] -V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
v'_(t) = [mm] V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}*V_{A}^{2}*t [/mm]
v'_(t) = [mm] V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{4}*t^{2}(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
Hoffe die Ableitung stimmt soweit?
Könnt ihr mir erklären wie ich hier weiter zusammenfassen kann?
Gruß Nico
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo Nico.
> Ich habe für die zweite Ableitung nach t wie folgt
> gerechnet:
>
> [mm]v_{(t)}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Für die Produktregel hab ich u(x) und v(x) verwendet
Die Produktregel ist schon Mal der richtige Weg.
> u(x) = [mm]V_{A}^{2}*t[/mm]
>
> u'(x) = [mm]V_{A}^{2}[/mm]
Eigentlich wäre u(t) und u'(t) statt u(x) ... besser gewesen.
> v(x) [mm]=(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> v'(x) =
> [mm]-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
Korrekt!
> v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}*V_{A}^{2}*t[/mm]
Stimmt auch.
>
> v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{4}*t^{2}(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Hoffe die Ableitung stimmt soweit?
> Könnt ihr mir erklären wie ich hier weiter
> zusammenfassen kann?
Zunächst einmal kann man [mm] $V_A^2$ [/mm] ausklammern, ebenfalls könntest du den Term $v'_{(t)}$ als Bruch schreiben mit dem Nenner [mm] $(-0.25l^2 [/mm] + [mm] V_A^2t^2)^{0.5}$
[/mm]
Viel schöner wird es dadurch erst Mal nicht, was genau möchtest du denn jetzt noch machen?
Mfg
Disap
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Nico. |
> Hallo Nico.
>
> > Ich habe für die zweite Ableitung nach t wie folgt
> > gerechnet:
> >
> > [mm]v_{(t)}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
> > Für die Produktregel hab ich u(x) und v(x) verwendet
>
> Die Produktregel ist schon Mal der richtige Weg.
>
> > u(x) = [mm]V_{A}^{2}*t[/mm]
> >
> > u'(x) = [mm]V_{A}^{2}[/mm]
>
> Eigentlich wäre u(t) und u'(t) statt u(x) ... besser
> gewesen.
>
> > v(x) [mm]=(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> >
> > v'(x) =
> >
> [mm]-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Korrekt!
>
> > v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}*V_{A}^{2}*t[/mm]
>
> Stimmt auch.
>
> >
> > v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{4}*t^{2}(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> >
> > Hoffe die Ableitung stimmt soweit?
> > Könnt ihr mir erklären wie ich hier weiter
> > zusammenfassen kann?
>
> Zunächst einmal kann man [mm]V_A^2[/mm] ausklammern, ebenfalls
> könntest du den Term [mm]v'_{(t)}[/mm] als Bruch schreiben mit dem
> Nenner [mm](-0.25l^2 + V_A^2t^2)^{0.5}[/mm]
>
> Viel schöner wird es dadurch erst Mal nicht, was genau
> möchtest du denn jetzt noch machen?
>
Ich wollte es auf die Musterlösung umformen.
Die Lösung die wir bekommen haben ist:
v'_(t) = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}}{(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
Ich habe bisher keinen Ahnung wie ich es in diese Form überführen kann.
Gruß Nico
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> > Hallo Nico.
> >
> > > Ich habe für die zweite Ableitung nach t wie folgt
> > > gerechnet:
> > >
> > > [mm]v_{(t)}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für die Produktregel hab ich u(x) und v(x) verwendet
> >
> > Die Produktregel ist schon Mal der richtige Weg.
> >
> > > u(x) = [mm]V_{A}^{2}*t[/mm]
> > >
> > > u'(x) = [mm]V_{A}^{2}[/mm]
> >
> > Eigentlich wäre u(t) und u'(t) statt u(x) ... besser
> > gewesen.
> >
> > > v(x) [mm]=(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> > >
> > > v'(x) =
> > >
> >
> [mm]-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
> >
> > Korrekt!
> >
> > > v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}*V_{A}^{2}*t[/mm]
> >
> > Stimmt auch.
> >
> > >
> > > v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{4}*t^{2}(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hoffe die Ableitung stimmt soweit?
> > > Könnt ihr mir erklären wie ich hier weiter
> > > zusammenfassen kann?
> >
> > Zunächst einmal kann man [mm]V_A^2[/mm] ausklammern, ebenfalls
> > könntest du den Term [mm]v'_{(t)}[/mm] als Bruch schreiben mit dem
> > Nenner [mm](-0.25l^2 + V_A^2t^2)^{0.5}[/mm]
> >
> > Viel schöner wird es dadurch erst Mal nicht, was genau
> > möchtest du denn jetzt noch machen?
> >
> Ich wollte es auf die Musterlösung umformen.
>
> Die Lösung die wir bekommen haben ist:
>
> v'_(t) =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}}{(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
du meinst doch sicherlich im zähler eher ein multiplikations- statt nem summationszeichen oder?
erweitere dazu den ersten bruch mit [mm] (0.25*l^2+V^2t^2)[/mm] [mm][/mm][mm][/mm]
>
> Ich habe bisher keinen Ahnung wie ich es in diese Form
> überführen kann.
>
> Gruß Nico
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Nico. |
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> > > Hallo Nico.
> > >
> > > > Ich habe für die zweite Ableitung nach t wie folgt
> > > > gerechnet:
> > > >
> > > > [mm]v_{(t)}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> >
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> > > >
> > > > Für die Produktregel hab ich u(x) und v(x) verwendet
> > >
> > > Die Produktregel ist schon Mal der richtige Weg.
> > >
> > > > u(x) = [mm]V_{A}^{2}*t[/mm]
> > > >
> > > > u'(x) = [mm]V_{A}^{2}[/mm]
> > >
> > > Eigentlich wäre u(t) und u'(t) statt u(x) ... besser
> > > gewesen.
> > >
> > > > v(x) [mm]=(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> > > >
> > > > v'(x) =
> > > >
> > >
> >
> [mm]-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
> > >
> > > Korrekt!
> > >
> > > > v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{2}*t(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}*V_{A}^{2}*t[/mm]
> > >
> > > Stimmt auch.
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> > > >
> > > > v'_(t) = [mm]V_{A}^{2} *(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}-V_{A}^{4}*t^{2}(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
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> > > > Hoffe die Ableitung stimmt soweit?
> > > > Könnt ihr mir erklären wie ich hier weiter
> > > > zusammenfassen kann?
> > >
> > > Zunächst einmal kann man [mm]V_A^2[/mm] ausklammern, ebenfalls
> > > könntest du den Term [mm]v'_{(t)}[/mm] als Bruch schreiben mit dem
> > > Nenner [mm](-0.25l^2 + V_A^2t^2)^{0.5}[/mm]
> > >
> > > Viel schöner wird es dadurch erst Mal nicht, was genau
> > > möchtest du denn jetzt noch machen?
> > >
> > Ich wollte es auf die Musterlösung umformen.
> >
> > Die Lösung die wir bekommen haben ist:
> >
> > v'_(t) =
> >
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}}{(\bruch{1}{4}l^{2}+ V_{A}^{2}t^{2})^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
> >
> du meinst doch sicherlich im zähler eher ein
> multiplikations- statt nem summationszeichen oder?
>
Mist hab mich da vertippt. Ich meinte:
v'_(t) = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}l^{2}*V_{A}^{2}}{(\bruch{1}{4}l^{2}+ V_{A}^{2}t^{2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
> erweitere dazu den ersten bruch mit [mm](0.25*l^2+V^2t^2)[/mm][mm][/mm][mm][/mm]
Danke für den Tipp. Werde es gleich mal probieren.
Gruß Nico
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 So 29.08.2010 | | Autor: | abakus |
>
> [mm]x_{t}=-\bruch{l}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin grade dabei für die genannte Aufgabe die erste und
> zweite Ableitung zu bestimmen.
>
> Die erste Ableitung von [mm]x_{t}[/mm] sei [mm]v_{t}:[/mm]
>
> [mm]x_{t}=-\bruch{l}{2}+(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Substiution mit u:
>
> [mm]u=\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=2*V_{A}^{2}t[/mm]
>
> dx= [mm]2*V_{A}^{2}t[/mm] du
>
> [mm]x_{t}=-\bruch{l}{2}+(u)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]v_{t}= 2*V_{A}^{2}*t*\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]v_{t}= V_{A}^{2}*t*(\bruch{1}{4}l^{2}+V_{A}^{2}t^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Ist das Ergebnis richtig?
>
> Bei der zweiten Ableitung tue ich mich sehr schwer einen
> Anfang zu finden.
> Könnt ihr mich bitte anschupsen?
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
>
> Gruß Nico
Hallo,
schreibe erst mal vernünftig auf: Was ist Variable, was nur konstanter Parameter? Wonach wird eigentlich abgeleitet? Nach x? Nach t?
Gruß Abakus
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