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Forum "VK 59: Lineare Algebra" - Übungsserie 4, Aufgabe 3
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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Aufgabe 3
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:25 Mo 27.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
IV-3: a) Untersuchen Sie, ob sich x= [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 12}, [/mm] y= [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] und z= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] als Linearkombination von u= [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 5} [/mm] und w= [mm] \vektor{ 0 \\ 2 \\ 3} [/mm] im [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IR^{3} [/mm] darstellen lassen.
b) Untersuchen Sie auf lineare Unabhängigkeit:
(i) im Vektorraum V = [mm] \IR^3 [/mm] über Körper K = [mm] \IR [/mm] : x= [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ \pi}, [/mm] y= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ \pi} [/mm] und z= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm]
(ii) im Vektorraum V = [mm] \IR [/mm] = Körper K: x = 1, y = [mm] \wurzel{2}, [/mm] z = [mm] \wurzel{3}. [/mm]
Ändert sich die Lösung, wenn man stattdessen den Körper [mm] \IQ [/mm] betrachtet?

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)




        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

$ x = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 12} [/mm] = 3 * u - w $

$ y = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] = u - w $

u, w und z sind linearunabhängig.
Daher lässt sich z nicht als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Sa 10.03.2012
Autor: leduart

Hallo
die Antwort ist richtig, Besser find ich aus 2 lin unabh. Vektoren lässt sich der Nullvektor nie darstellen.
gruss leduart

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Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: b) (i)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ \pi & \pi & 0 &| 0} [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ 1 & 1 & 0 &| 0} [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ 1 & 0 & -1 &| 0} [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ 0 & 0 & 0 &| 0} [/mm]

~> Nullzeile

~> Linear abhängig

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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Fr 09.03.2012
Autor: leduart

Hallo
richtig, bei 2 sieht man schneller c2-v3=v1
Gruss leduart


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Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:17 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

Danke leduart.

Darauf hätte ich auch kommen können...
Hab das aber nicht gesehen...

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 Fr 09.03.2012
Autor: leduart

Hallo
ein kurzer blick ob die einfachsten kombinationen einen der Vektoren geben lohnt sich oft. der aufgabensteller muss ja uch ganz schnell nen lin. abhängigen "herstellen"
gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:02 Sa 10.03.2012
Autor: Kimmel

Stimmt.

Danke.

Bezug
        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: b) (ii)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:01 Sa 10.03.2012
Autor: Kimmel

Für $V = [mm] \IR$: [/mm]

$z = [mm] \wurzel{3}x$ [/mm]

Also linear abhängig.

Für $V = [mm] \IQ$: [/mm]

$ r + s * [mm] \wurzel{2} [/mm] + t * [mm] \wurzel{3} [/mm] = 0 [mm] \qquad [/mm] r,s,t [mm] \in \IQ [/mm] $

Da der erste Ausruck rational ist und $r [mm] \in \IQ$ [/mm] ist, bleibt er rational.

Das heißt, die beiden anderen Ausdrücke müssen entweder rational werden oder sie müssen sich wegheben.

Es gilt:

Eine rationale Zahl multipliziert mit einer irrationalen bleibt irrational.

Daher bleibt nur noch die Möglichkeit, dass die beiden hinteren Ausrücke sich wegheben müssen:

$ s * [mm] \wurzel{2} [/mm] = -t [mm] \wurzel{3}$ [/mm]
$ [mm] -\frac{s}{t} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] $

Auch hier wird der linke Ausdruck nie rational, das heißt, es existiert nur die triviale Lösung $r,s,t = 0 \ $.

Damit sind sie linear unabhängig.


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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Sa 10.03.2012
Autor: leduart

Hallo
richtig
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:27 Sa 10.03.2012
Autor: Kimmel

Dankeschön fürs Drüberschauen.

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