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tangens: 2. Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:21 Mo 23.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo,

es soll gezeigt werden, dass folgende Funktion in ihren Nullstellen ein Wendepunkt besitzt:

y=tan(x)

Nach der 2. Ableitung und Nullsetzen komme ich auf:

[mm] 0=\bruch{1}{sin(2x)} [/mm]

Also:

[mm] 0=sin^{-1}(2x) [/mm]

Hier weiß ich nicht so richtig weiter... Wie löse ich jetzt weiter auf?

LG und besten Dank im Voraus...

        
Bezug
tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:42 Mo 23.12.2013
Autor: reverend

Hallo sonic,

unter uns Nachtmenschen - vielleicht klappts ja besser bei Tageslicht? :-)

> es soll gezeigt werden, dass folgende Funktion in ihren
> Nullstellen ein Wendepunkt besitzt:
>  
> y=tan(x)
>  
> Nach der 2. Ableitung und Nullsetzen komme ich auf:
>  
> [mm]0=\bruch{1}{sin(2x)}[/mm]

Mach doch bitte mal die Ableitungen vor. Da stimmt was nicht.

> Also:
>  
> [mm]0=sin^{-1}(2x)[/mm]

Das ist eine gefährliche Notation. Bitte gewöhn sie Dir schnellstmöglich ab. Viele Taschenrechner und leider auch manche Schulbuchautoren verwenden die Schreibweise [mm] \sin^{-1} [/mm] für den [mm] \arcsin. [/mm]
Bleib lieber bei der Bruchschreibweise oder klammer alles ein und setz dann den Exponenten dran: [mm] 0=(\sin{(2x)})^{-1} [/mm]

Soviel zur Schreibweise. Die Gleichung selbst hilft Dir hier nicht weiter, da die 2. Ableitung falsch ist.

> Hier weiß ich nicht so richtig weiter... Wie löse ich
> jetzt weiter auf?

Am besten noch gar nicht.

Übrigens: wo hat der Tangens denn seine Nullstellen?
Da müsste Dir auch auffallen, dass Deine Ableitung nicht stimmen kann.
  

> LG und besten Dank im Voraus...

Grüße
reverend

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tangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:14 Mo 23.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo Reverend,

ja diese Schreibweise irritiert manchmal...

[mm] y'=\bruch{1}{(cos (x))^2} [/mm]

[mm] y''=\bruch{1}{-2sin(2x)} [/mm]

Dann:

[mm] 0=\bruch{1}{-2sin(2x)} [/mm]

Dann habe ich die -2 eleminiert und komme doch auf:

[mm] 0=\bruch{1}{sin(2x)} [/mm]

oder?

LG




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tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:58 Mo 23.12.2013
Autor: reverend

Hallo nochmal,

da bin ich doch glatt an meinem rufenden Bett vorbeigegangen. Ich hoffe, es weckt niemanden.

> ja diese Schreibweise irritiert manchmal...

Sie ist zwar konsequent - man schreibt ja auch [mm] \sin^2{x} [/mm] -, aber zugleich das beste Beispiel, um diese sonst bequeme Schreibweise aufzugeben. Mir geht sie allerdings auch oft durch, zumal bei den Quadraten.

> [mm]y'=\bruch{1}{(cos (x))^2}[/mm]

Richtig [ok]. Das kann man auch anders schreiben, wenn man will:

[mm] y'=1+(\tan{(x)})^2=\bruch{1}{1-(\sin{(x)})^2}=(\sec{(x)})^2 [/mm] etc.

> [mm]y''=\bruch{1}{-2sin(2x)}[/mm]

Das hätte ich eben gern mal in einzelnen Schritten.

> Dann:
>  
> [mm]0=\bruch{1}{-2sin(2x)}[/mm]
>  
> Dann habe ich die -2 eleminiert und komme doch auf:
>  
> [mm]0=\bruch{1}{sin(2x)}[/mm]
>  
> oder?

Nach wie vor nein, weil die 2. Ableitung immer noch falsch ist.
Wie hast Du die denn gefunden? Das ist doch die Frage.

Wenn das richtig wäre, dann würdest Du (so wie Du auch gefragt hattest) nach einer Lösung von [mm] 0=-\bruch{1}{2\sin{(2x)}} [/mm] suchen. Damit die rechte Seite definiert ist, muss [mm] \sin{2x}\not=0 [/mm] sein; also darf man damit multiplizieren. Dann suchst Du also alle $x$, für die die Gleichung $0=1$ wahr ist. Leere Lösungsmenge.

Immerhin stimmt Deine 1. Ableitung, der Weg kann also nicht mehr so weit sein. Verwende die Quotienten- und die Kettenregel.

Grüße
reverend

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tangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:15 Mo 23.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo,

meine Katze hat das Bett belegt... Da kann ich nix machen;-)

O.K.

Ich glaube ich habe den Fehler gefunden... Ich habe einfach nur unterhalb des Bruchs abgelitten und die eins oben stehen lassen... Ist das falsch? Ist doch ein konstanter Faktor... Also so:

[mm] y'=\bruch{1}{(cos(x))^2} [/mm]

[mm] y''=\bruch{1}{(-sin(x)*cos(x))+(-sin(x)*cos(x))} [/mm]

Muss wohl anders sein oder?

LG



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tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:28 Mo 23.12.2013
Autor: DieAcht

Hallo,

> Hallo,
>  
> meine Katze hat das Bett belegt... Da kann ich nix
> machen;-)
>  
> O.K.
>  
> Ich glaube ich habe den Fehler gefunden... Ich habe einfach
> nur unterhalb des Bruchs abgelitten und die eins oben
> stehen lassen... Ist das falsch? Ist doch ein konstanter
> Faktor... Also so:
>  

[notok]

Es ist ein Bruch! Nach deiner Theorie müsste auch folgendes gelten:

      [mm] (\frac{1}{x})'=\frac{1}{x'}=\frac{1}{1}=1 [/mm]

Das stimmt natürlich nicht, aber es gilt nach der Kettenregel:

      [mm] (\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-1*x^{-2}*(x)'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2} [/mm]

Du meinst folgendes:

      [mm] (\alpha*f(x))'=\alpha*f'(x) [/mm] für alle [mm] \alpha\in\IR [/mm]

> [mm]y'=\bruch{1}{(cos(x))^2}[/mm]
>  
> [mm]y''=\bruch{1}{(-sin(x)*cos(x))+(-sin(x)*cos(x))}[/mm]
>  

[notok]

> Muss wohl anders sein oder?

      [mm] y'=\bruch{1}{(cos(x))^2}=(cos(x))^{-2} [/mm]

Jetzt benutze die Kettenregel, so wie ich es dir oben gezeigt habe!

>  
> LG
>  
>  

Liebe Grüße
DieAcht

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Bezug
tangens: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Mo 23.12.2013
Autor: Richie1401


> Hallo,
>  
> > Hallo,
>  >  
> > meine Katze hat das Bett belegt... Da kann ich nix
> > machen;-)
>  >  
> > O.K.
>  >  
> > Ich glaube ich habe den Fehler gefunden... Ich habe einfach
> > nur unterhalb des Bruchs abgelitten und die eins oben
> > stehen lassen... Ist das falsch? Ist doch ein konstanter
> > Faktor... Also so:
>  >  
>
> [notok]
>  
> Es ist ein Bruch! Nach deiner Theorie müsste auch
> folgendes gelten:
>  
> [mm](\frac{1}{x})'=\frac{1}{x'}=\frac{1}{1}=1[/mm]
>  
> Das stimmt natürlich nicht, aber es gilt nach der
> Kettenregel:
>  
> [mm](\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-1*x^{-2}*(x)'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}[/mm]

Moin,

joa, Kettenregel ist das schon, aber demnach wäre jede Ableitung nach der Kettenregel abzuleiten.

Ich meine nach der Quotientenregel kann man ja 1/x ebenso ableiten. Und wenn man ganz kühn ist, so leitet man den Bruch mit der Produktregel ab. ;-)

Allgemeiner und am leichtesten findet man die Regel für die Bildung der Ableitung unter dem Namen: Potenzregel.

Frohes Fest.

>  
> Du meinst folgendes:
>
> [mm](\alpha*f(x))'=\alpha*f'(x)[/mm] für alle [mm]\alpha\in\IR[/mm]
>  
> > [mm]y'=\bruch{1}{(cos(x))^2}[/mm]
>  >  
> > [mm]y''=\bruch{1}{(-sin(x)*cos(x))+(-sin(x)*cos(x))}[/mm]
>  >  
>
> [notok]
>  
> > Muss wohl anders sein oder?
>  
> [mm]y'=\bruch{1}{(cos(x))^2}=(cos(x))^{-2}[/mm]
>  
> Jetzt benutze die Kettenregel, so wie ich es dir oben
> gezeigt habe!
>  
> >  

> > LG
>  >  
> >  

>
> Liebe Grüße
>  DieAcht


Bezug
                                                        
Bezug
tangens: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Mo 23.12.2013
Autor: DieAcht

Heyho,


> Moin,
>  
> joa, Kettenregel ist das schon, aber demnach wäre jede
> Ableitung nach der Kettenregel abzuleiten.
>  
> Ich meine nach der Quotientenregel kann man ja 1/x ebenso
> ableiten. Und wenn man ganz kühn ist, so leitet man den
> Bruch mit der Produktregel ab. ;-)
>  
> Allgemeiner und am leichtesten findet man die Regel für
> die Bildung der Ableitung unter dem Namen: Potenzregel.
>  

Ja, da hast du natürlich Recht. Ich habe in diesem Zusammenhang mit Absicht Kettenregel geschrieben, damit der Ersteller dieser Frage nicht die innere Ableitung vergisst. Das ist glaube ich einer der häufigsten Fehler in diesem Zusammenhang.

> Frohes Fest.

Dir auch ein frohes Fest Richie :-)

Gruß
DieAcht

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Bezug
tangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Mo 23.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich glaube ich habe den Fehler gefunden... Ich habe einfach
> nur unterhalb des Bruchs abgelitten


du meinst: abgeleitet?

> und die eins oben

> stehen lassen... Ist das falsch?

Ja, das ist völlig falsch.

> Ist doch ein konstanter

> Faktor...


Die 1 im Zähler: ja. Aber das ändert nichts daran, dass im Nenner eine Funktion steht. Denk es dir mal so aufgeschrieben:

[mm] f'(x)=1:cos^2(x) [/mm]

>  Also so:
>

> [mm]y'=\bruch{1}{(cos(x))^2}[/mm]

>

> [mm]y''=\bruch{1}{(-sin(x)*cos(x))+(-sin(x)*cos(x))}[/mm]

>

> Muss wohl anders sein oder?

Als tipp wurde ja schon die Kettenregel gegeben. Diese halte ich jedoch für zu umständlich. Zum Ableiten von Quotienten darf auch nach wie vor die Quotientenregel

[mm] \left(\bruch{u}{v}\right)'=\bruch{u'v-uv'}{v^2} [/mm]

verwendet werden, auch wenn sie mittlerweile in vielen Bundesländeren aus den Bildungslänen verbannt wurde.

Gruß, Diophant

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tangens: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Mo 23.12.2013
Autor: sonic5000

abgelitten: kleiner Spaß am Rande ;-)

LG

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Bezug
tangens: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 Mo 23.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> abgelitten: kleiner Spaß am Rande ;-)

>

Wir werden sehr gelitten haben, wenn wir das lesen. ;-)

Aber immerhin hast du nichts 'aufgeleitet', das wäre ja noch viel schlimmer! :-)

Grüße & frohe Weihnachten, Diophant

Bezug
                                                                
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tangens: frohe Weihnachten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Mo 23.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo Diophant,

ich wünsche Dir und allen anderen auch frohe Weihnachten... Ich bin sehr froh und dankbar,  dass es dieses Forum gibt (mache gerade ein Eigenstudium und wäre ohne diese Hilfe wohl nicht sehr weit gekommen...)

LG Jonas

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