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Forum "Vektoren" - parallele und orthogonale Vek.
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parallele und orthogonale Vek.: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Di 10.02.2015
Autor: Lucas95

Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{u}=[-1,-2,a] [/mm] und [mm] \vec{v}=[-1,a,a] [/mm] in Abhängigkeit von der reellen Zahl a!
Bestimmen Sie jeweils die konkreten Zahlenwerte für a1 und a2 mit a1 Element von R so, dass die Vektoren parallel sind und mit a2 Element R so, dass die Vektoren orthogonal zueinander sind.

Liebe community,
a1 müsste -2 sein, da [-1,-2,a]=k*[-1,a,a] der Ansatz ist.
So rechnet man dann
(1) -1=k*-1 --> k=1
(2) -2=1*a --> a=-2
(3) -2=1*-2 w.A.
--> a1=-2, für k kommt jeweils derselbe Wert heraus --> die Vektoren sind parallel.

a2 müsste eins sein, denn hier muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren sein --> (-1*-1)+(-2*1)+1*1 = 1-2+1 = 0
--> Skalarprodukt = 0 --> Vektoren orthogonal.

        
Bezug
parallele und orthogonale Vek.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Di 10.02.2015
Autor: fred97


> Gegeben sind die Vektoren [mm]\vec{u}=[-1,-2,a][/mm] und
> [mm]\vec{v}=[-1,a,a][/mm] in Abhängigkeit von der reellen Zahl a!
>  Bestimmen Sie jeweils die konkreten Zahlenwerte für a1
> und a2 mit a1 Element von R so, dass die Vektoren parallel
> sind und mit a2 Element R so, dass die Vektoren orthogonal
> zueinander sind.
>  Liebe community,
> a1 müsste -2 sein, da [-1,-2,a]=k*[-1,a,a] der Ansatz ist.
> So rechnet man dann
> (1) -1=k*-1 --> k=1
>  (2) -2=1*a --> a=-2

>  (3) -2=1*-2 w.A.
>  --> a1=-2, für k kommt jeweils derselbe Wert heraus -->

> die Vektoren sind parallel.

Das ist O.K.


>  
> a2 müsste eins sein, denn hier muss das Skalarprodukt der
> beiden Vektoren sein --> (-1*-1)+(-2*1)+1*1 = 1-2+1 = 0
> --> Skalarprodukt = 0 --> Vektoren orthogonal.  

Du hast gezeigt: wenn  a=1 ist, so sind die die Vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] zueinander orthogonal .

Dieser Aufgabenteil verlangt aber etwas mehr:

zeige auch noch:  wenn  [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] zueinander orthogonal  sind, so muss a=1 sein.

FRED


Bezug
                
Bezug
parallele und orthogonale Vek.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 10.02.2015
Autor: Lucas95

Es steht da
(-1*-1)+(-2*a)+(a*a)=0
also
-1-2*a+a² = 0
man kann deutlich erkennen, dass a nur 1 sein kann. ?

Bezug
                        
Bezug
parallele und orthogonale Vek.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Di 10.02.2015
Autor: fred97


> Es steht da
> (-1*-1)+(-2*a)+(a*a)=0
>  also
> -1-2*a+a² = 0
>  man kann deutlich erkennen, dass a nur 1 sein kann. ?

Ummmpff ! ?  Ich erkenne das nicht, und schon gar nicht deutlich, denn:

   a=1 ist aber keine Lösung der Gleichung [mm] $-1-2a+a^2=0$ [/mm]   ( es ist [mm] -1-2+1^2=-2). [/mm]

Was nun ?  Ganz einfach: Du hast das Skalaprodukt falsch berechnet. Richtig ist:


    [mm] $1-2a+a^2$. [/mm]

Wegen  [mm] $1-2a+a^2=(1-a)^2$ [/mm] kann man nun deutlicher (und deutlicher gehts nicht mehr) erkennen:


   [mm] $1-2a+a^2=(1-a)^2=0 \gdw [/mm] a=1$

Gruß von

  Fred Deutlich




Bezug
                                
Bezug
parallele und orthogonale Vek.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Di 10.02.2015
Autor: abakus


> > Es steht da
> > (-1*-1)+(-2*a)+(a*a)=0
> > also
> > -1-2*a+a² = 0
> > man kann deutlich erkennen, dass a nur 1 sein kann. ?

>

> Ummmpff ! ? Ich erkenne das nicht, und schon gar nicht
> deutlich, denn:

>

> a=1 ist aber keine Lösung der Gleichung [mm]-1-2a+a^2=0[/mm] ( es
> ist [mm]-1-2+1^2=-2).[/mm]

>

> Was nun ? Ganz einfach: Du hast das Skalaprodukt falsch
> berechnet. Richtig ist:

>
>

> [mm]1-2a+a^2[/mm].

>

> Wegen [mm]1-2a+a^2=(1-a)^2[/mm] kann man nun deutlicher (und
> deutlicher gehts nicht mehr) erkennen:

>
>

> [mm]1-2a+a^2=(1-a)^2=0 \gdw a=1[/mm]

>

> Gruß von

>

> Fred Deutlich

>
>
>
Womit wieder einmal gezeigt wäre, dass " Deutlich" den Wert 97 annimmt (und ich dachte bisher, die Antwort auf alles sei 42.)

Bezug
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