n-te Taylorpolynom < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
| Aufgabe | Bestimme für jedes [mm] n\in \IN [/mm] das n-te Taylorpolynom der Funktion f(x)= 1/x+1 (x>-1) um den Entwicklungspunkt o=0
Hinweis: Finde eine (geschlossene) Formel für alle höheren Ableitungen [mm] (F^{(m)} [/mm] (0)) [mm] (m\ge [/mm] 1) |
Hallo ich habe die Aufgabe versucht bin mir aber nicht sicher ob ich den Hinweis richtig mit einbezogen habe.
f(x)=1/x+1, [mm] f^{1}(x)=-1/(x+1)^2 [/mm] , [mm] f^{2}(x)=2/(x+1)^3 [/mm] , [mm] f^{3}(x)=-6/(x+1)^4
[/mm]
f(0)=1, f´(0)=-1, f´´(0)=2 , ´f´´´(0)=-6
[mm] Pn(o)(f)=1+(-1/1!)(x-0)+(2/2!)(x-0)^2+(-6/3!)(x-0)^3
[/mm]
[mm] =1-x+x^2-x^3+...+x^{n+1}
[/mm]
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> Bestimme für jedes [mm]n\in \IN[/mm] das n-te Taylorpolynom der
Funktion $\ f(x)= [mm] 1/\red{(}x+1\red{)}$ [/mm] (x>-1) um den Entwicklungspunkt o=0
>
> Hinweis: Finde eine (geschlossene) Formel für alle höheren
> Ableitungen [mm](F^{(m)}[/mm] (0)) [mm](m\ge[/mm] 1)
> Hallo ich habe die Aufgabe versucht bin mir aber nicht
> sicher ob ich den Hinweis richtig mit einbezogen habe.
>
> $\ [mm] f(x)=1/\red{(}x+1\red{)}$,[/mm] [mm]f^{(1)}(x)=-1/(x+1)^2[/mm] , [mm]f^{(2)}(x)=2/(x+1)^3[/mm] ,
> [mm]f^{(3)}(x)=-6/(x+1)^4[/mm]
>
f(0)=1, f´(0)=-1, f´´(0)=2 , ´f´´´(0)=-6
>
> [mm]Pn(o)(f)=1+(-1/1!)(x-0)+(2/2!)(x-0)^2+(-6/3!)(x-0)^3[/mm]
>
> [mm]=1-x+x^2-x^3+...+x^{n+1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für das n-te Taylorpolynom müsste man beim
Glied mit [mm] x^n [/mm] aufhören. Zudem müsste man
dort noch den richtigen Vorzeichenfaktor setzen !
Hallo Blub,
dass die Ableitungen nach diesem einfachen Muster
weiter gehen, könnte (bzw. sollte) man mit voll-
ständiger Induktion beweisen.
Um diese Taylorreihe aufzustellen, könnte man
jedoch auch ganz anders vorgehen, nämlich mit
Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen,
welche lautet:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}a_0*q^n=\bruch{a_0}{1-q}\qquad(|q|<1)$
[/mm]
Setzt man darin [mm] a_0:=1 [/mm] und q:=-x , so hat man
rechts genau den Funktionsterm der Funktion f
und links deren Taylorreihe ! Ausserdem wird klar,
dass die Reihe nur für |x|<1 konvergent ist, weil
dieser Konvergenzradius für die geometrische
Reihe gilt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
Danke das hat mir sehr weiter geholfen
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