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lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 So 20.06.2004
Autor: frauke

Hallo!
Bin neu im Matheraum. Hoffe, ihr könnt mir bei meiner Aufgabe helfen.

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem L mit c,d,f [mm]\ne[/mm]0.

ax + by =e
cx + dy =f

zu zeigen:
wenn [mm] \bruch{a}{c} [/mm] = [mm] \bruch{b}{d} [/mm] und [mm] \bruch{b}{d} [/mm][mm]\ne[/mm][mm] \bruch{e}{f} [/mm], dann hat L keine Lösung.

Danke im Voraus

        
Bezug
lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 So 20.06.2004
Autor: Marcel

Hallo Frauke,
[willkommenmr]! :-)

> Hallo!
>  Bin neu im Matheraum. Hoffe, ihr könnt mir bei meiner
> Aufgabe helfen.

Generell sind eigene Lösungsversuche immer erwünscht, aber das hast du bestimmt schon in den Regeln gelesen. Bitte in Zukunft dran denken!

> Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem L mit c,d,f
> [mm]\ne[/mm]0.
>  
> ax + by =e
>  cx + dy =f
>  
> zu zeigen:
> wenn [mm]\bruch{a}{c} =\bruch{b}{d}[/mm] und [mm]\bruch{b}{d} [/mm][mm]\ne[/mm][mm] \bruch{e}{f} [/mm],
> dann hat L keine Lösung.

Ich gebe den Dingern da jetzt Namen:
1.) $c,d,f [mm] \ne [/mm] 0$
2.) [mm]\bruch{a}{c} =\bruch{b}{d}[/mm]
3.) [mm]\bruch{b}{d} \ne \bruch{e}{f} [/mm]
(I) $ax + by =e$
(II) $cx + dy =f$

Also:
Es gilt:
(i) $a,b [mm] \ne [/mm] 0$
Denn wäre $a=0$, so würde aus 2.) folgen, dass auch $b=0$ gelten würde. Aus (I) würde dann $e=0$ folgen, was aber 3.) widersprechen würde.
Wäre $b=0$, so kommt man genauso zum Widerspruch.

Angenommen, es gäbe eine Lösung. Wir rechnen ein bisschen und beachten dabei, dass wir wegen 1.) und (i) hier ohne Gewissenbisse umformen können. ;-)

Also:
$c*(I)-a*(II)$:
[mm]cby-ady=ce-af \gdw[/mm]

[m]y(cb-ad)=ce-af[/m]

[mm] $\gdw$ [/mm]

[m]yd(\frac{cb}{d}-a)=f(\frac{ce}{f}-a)[/m]

[mm] $\gdw$ [/mm]

[m]ydc(\frac{b}{d}-\frac{a}{c})=fc(\frac{e}{f}-\frac{a}{c})[/m]

[mm] $\gdw$ [/mm]

(*) [m]y*\frac{d}{f}*(\frac{b}{d}-\frac{a}{c})=(\frac{e}{f}-\frac{a}{c})[/m]

Wenn nun aber 2.) und 3.) gilt, dann folgt aus (*):
[m]y*\frac{d}{f}*0=(\frac{e}{f}-\frac{a}{c}) =(\frac{e}{f}-\frac{b}{d})\ne 0[/m] ,
(Der [mm] Ausdruck:$y*\frac{d}{f}*0$ [/mm] wegen 2.), [m](\frac{e}{f}-\frac{a}{c})=(\frac{e}{f}-\frac{b}{d})[/m] auch wegen 2.) und [m](\frac{e}{f}-\frac{b}{d}) \ne 0[/m] wegen 3.))

was $0 [mm] \ne [/mm] 0$ impliziert.

Widerspruch!

[huepf]

[winken]

[gutenacht]

Viele Grüße
Marcel

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