konstante Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
[mm] $\ddot{x}=F(x),$ $x(t_{0})=x_{0},$ $\dot{x}(t_{0})=v_{0}.$
[/mm]
Warum ist dann die Funktion [mm] E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)
[/mm]
mit [mm] V(x)=-\int [/mm] F(x)dx
konstant? |
Hallo,
die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E wird als Funktion von was bertrachtet?
Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
[mm] $\ddot{x}-F(x)$, [/mm] was gleich 0 ist. Es ist nun aber so, dass V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung nach t also $-F(x) [mm] \cdot [/mm] v$, was dazu führt, dass da nicht mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Do 24.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm] [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> Warum ist dann die Funktion [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> konstant?
> Hallo,
>
> die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> wird als Funktion von was bertrachtet?
Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst. Es geht also darum, zu zeigen, dass
[mm] \bruch{dE}{dt} = [/mm] .
> Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es ist nun aber so, dass
> V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
Erst einmal hängt x von t ab, und damit
[mm] \bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t) [/mm] ,
und damit kommt bei mir 0 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
>
> > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm] [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > Warum ist dann die Funktion
> [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > konstant?
> > Hallo,
> >
> > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > wird als Funktion von was bertrachtet?
>
> Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> Es geht also darum, zu zeigen, dass
>
> [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
>
> > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es ist nun aber so,
> dass
> > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
>
> Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
>
> Erst einmal hängt x von t ab, und damit
>
> [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
>
> und damit kommt bei mir 0 heraus.
>
> Viele Grüße
> Rainer
D.h. dann [mm] $\ddot{x}=F(x)$ [/mm] ist als [mm] $\ddot{x}=F(x) [/mm] \ [mm] \dot{x}$ [/mm] zu lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo!
> >
> > > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm]
> [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > > Warum ist dann die Funktion
> > [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > > konstant?
> > > Hallo,
> > >
> > > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > > wird als Funktion von was bertrachtet?
> >
> > Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> > Es geht also darum, zu zeigen, dass
> >
> > [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
> >
> > > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es ist nun aber so,
> > dass
> > > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
> >
> > Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> > gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
> >
> > Erst einmal hängt x von t ab, und damit
> >
> > [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
> >
> > und damit kommt bei mir 0 heraus.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
> D.h. dann [mm]\ddot{x}=F(x)[/mm] ist als [mm]\ddot{x}=F(x) \ \dot{x}[/mm] zu
> lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
Doch.
Ist [mm] E(t)=\bruch{1}{2}x'(t)^2+V(x(t)), [/mm] so mußt Du nur differenzieren und verwenden, dass
V'=-F und x''(t)=F(x(t))
ist.
Rechne doch einfach mal !
FRED
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> > > Hallo!
> > >
> > > > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > > > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm]
> > [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > > > Warum ist dann die Funktion
> > > [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > > > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > > > konstant?
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > > > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > > > wird als Funktion von was bertrachtet?
> > >
> > > Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> > > Es geht also darum, zu zeigen, dass
> > >
> > > [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
> > >
> > > > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > > > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es ist nun aber
> so,
> > > dass
> > > > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > > > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > > > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > > > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > > > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
> > >
> > > Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> > > gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
> > >
> > > Erst einmal hängt x von t ab, und damit
> > >
> > > [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
> > >
> > > und damit kommt bei mir 0 heraus.
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Rainer
> > D.h. dann [mm]\ddot{x}=F(x)[/mm] ist als [mm]\ddot{x}=F(x) \ \dot{x}[/mm] zu
> > lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
>
> Doch.
>
> Ist [mm]E(t)=\bruch{1}{2}x'(t)^2+V(x(t)),[/mm] so mußt Du nur
> differenzieren und verwenden, dass
>
> V'=-F und x''(t)=F(x(t))
>
> ist.
>
> Rechne doch einfach mal !
>
> FRED
>
Intuitiv hab ich das ja auch so gemacht, also $E'(t)=x''-F=0$, dann dachte ich aber (nach oberer Antwort), dass wenn ich E nach t ableite folgendes rauskommt: $E'(t)=x''-F(x)x'$. Wo ist denn jetzt mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > > > > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm]
> > > [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > > > > Warum ist dann die Funktion
> > > > [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > > > > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > > > > konstant?
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > > > > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > > > > wird als Funktion von was bertrachtet?
> > > >
> > > > Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> > > > Es geht also darum, zu zeigen, dass
> > > >
> > > > [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
> > > >
> > > > > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > > > > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es ist nun
> aber
> > so,
> > > > dass
> > > > > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > > > > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > > > > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > > > > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > > > > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
> > > >
> > > > Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> > > > gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
> > > >
> > > > Erst einmal hängt x von t ab, und damit
> > > >
> > > > [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
> > > >
> > > > und damit kommt bei mir 0 heraus.
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > > > Rainer
> > > D.h. dann [mm]\ddot{x}=F(x)[/mm] ist als [mm]\ddot{x}=F(x) \ \dot{x}[/mm] zu
> > > lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
> >
> > Doch.
> >
> > Ist [mm]E(t)=\bruch{1}{2}x'(t)^2+V(x(t)),[/mm] so mußt Du nur
> > differenzieren und verwenden, dass
> >
> > V'=-F und x''(t)=F(x(t))
> >
> > ist.
> >
> > Rechne doch einfach mal !
> >
> > FRED
> >
> Intuitiv hab ich das ja auch so gemacht, also
> [mm]E'(t)=x''-F=0[/mm], dann dachte ich aber (nach oberer Antwort),
> dass wenn ich E nach t ableite folgendes rauskommt:
> [mm]E'(t)=x''-F(x)x'[/mm]. Wo ist denn jetzt mein Fehler?
Bin ich Hellseher ? Hier vorrechnen !! Sonst wird das nix.
FRED
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> > > > > Hallo!
> > > > >
> > > > > > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > > > > > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm]
> > > > [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > > > > > Warum ist dann die Funktion
> > > > > [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > > > > > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > > > > > konstant?
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > > > > > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > > > > > wird als Funktion von was bertrachtet?
> > > > >
> > > > > Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> > > > > Es geht also darum, zu zeigen, dass
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
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> > > > > > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > > > > > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es ist nun
> > aber
> > > so,
> > > > > dass
> > > > > > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > > > > > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > > > > > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > > > > > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > > > > > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
> > > > >
> > > > > Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> > > > > gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
> > > > >
> > > > > Erst einmal hängt x von t ab, und damit
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
> > > > >
> > > > > und damit kommt bei mir 0 heraus.
> > > > >
> > > > > Viele Grüße
> > > > > Rainer
> > > > D.h. dann [mm]\ddot{x}=F(x)[/mm] ist als [mm]\ddot{x}=F(x) \ \dot{x}[/mm] zu
> > > > lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
> > >
> > > Doch.
> > >
> > > Ist [mm]E(t)=\bruch{1}{2}x'(t)^2+V(x(t)),[/mm] so mußt Du nur
> > > differenzieren und verwenden, dass
> > >
> > > V'=-F und x''(t)=F(x(t))
> > >
> > > ist.
> > >
> > > Rechne doch einfach mal !
> > >
> > > FRED
> > >
> > Intuitiv hab ich das ja auch so gemacht, also
> > [mm]E'(t)=x''-F=0[/mm], dann dachte ich aber (nach oberer Antwort),
> > dass wenn ich E nach t ableite folgendes rauskommt:
> > [mm]E'(t)=x''-F(x)x'[/mm]. Wo ist denn jetzt mein Fehler?
>
> Bin ich Hellseher ? Hier vorrechnen !! Sonst wird das nix.
Wahrscheinlich nicht. Okay, naja ich hab einfach nur
$ [mm] d_tE(t)=d_t (\frac{1}{2}\dot{x}^2)+d_tV(x(t))$
[/mm]
gerechnet und dann [mm] $d_t V(x(t))=-F(x(t))\dot{x}$ [/mm] eingesetzt, wobei [mm] $d_t=\frac{d}{dt}$.
[/mm]
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > Hallo!
> > > > > >
> > > > > > > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > > > > > > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm]
> > > > > [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > > > > > > Warum ist dann die Funktion
> > > > > > [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > > > > > > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > > > > > > konstant?
> > > > > > > Hallo,
> > > > > > >
> > > > > > > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > > > > > > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > > > > > > wird als Funktion von was bertrachtet?
> > > > > >
> > > > > > Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> > > > > > Es geht also darum, zu zeigen, dass
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
> > > > > >
> > > > > > > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > > > > > > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es ist
> nun
> > > aber
> > > > so,
> > > > > > dass
> > > > > > > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > > > > > > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > > > > > > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > > > > > > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > > > > > > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
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> > > > > > Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> > > > > > gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
> > > > > >
> > > > > > Erst einmal hängt x von t ab, und damit
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
> > > > > >
> > > > > > und damit kommt bei mir 0 heraus.
> > > > > >
> > > > > > Viele Grüße
> > > > > > Rainer
> > > > > D.h. dann [mm]\ddot{x}=F(x)[/mm] ist als [mm]\ddot{x}=F(x) \ \dot{x}[/mm] zu
> > > > > lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
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> > > > Doch.
> > > >
> > > > Ist [mm]E(t)=\bruch{1}{2}x'(t)^2+V(x(t)),[/mm] so mußt Du nur
> > > > differenzieren und verwenden, dass
> > > >
> > > > V'=-F und x''(t)=F(x(t))
> > > >
> > > > ist.
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> > > > Rechne doch einfach mal !
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> > > > FRED
> > > >
> > > Intuitiv hab ich das ja auch so gemacht, also
> > > [mm]E'(t)=x''-F=0[/mm], dann dachte ich aber (nach oberer Antwort),
> > > dass wenn ich E nach t ableite folgendes rauskommt:
> > > [mm]E'(t)=x''-F(x)x'[/mm]. Wo ist denn jetzt mein Fehler?
> >
> > Bin ich Hellseher ? Hier vorrechnen !! Sonst wird das nix.
> Wahrscheinlich nicht. Okay, naja ich hab einfach nur
> [mm]d_tE(t)=d_t (\frac{1}{2}\dot{x}^2)+d_tV(x(t))[/mm]
> gerechnet
> und dann [mm]d_t V(x(t))=-F(x(t))\dot{x}[/mm] eingesetzt, wobei
> [mm]d_t=\frac{d}{dt}[/mm].
.... und was ist die Ableitung von [mm] \frac{1}{2}\dot{x}^2 [/mm] ?
FRED
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> > FRED
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> > > > > > > Hallo!
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> > > > > > > > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > > > > > > > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm]
> > > > > > [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > > > > > > > Warum ist dann die Funktion
> > > > > > > [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > > > > > > > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > > > > > > > konstant?
> > > > > > > > Hallo,
> > > > > > > >
> > > > > > > > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > > > > > > > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > > > > > > > wird als Funktion von was bertrachtet?
> > > > > > >
> > > > > > > Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> > > > > > > Es geht also darum, zu zeigen, dass
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
> > > > > > >
> > > > > > > > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > > > > > > > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist. Es
> ist
> > nun
> > > > aber
> > > > > so,
> > > > > > > dass
> > > > > > > > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > > > > > > > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > > > > > > > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > > > > > > > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > > > > > > > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
> > > > > > >
> > > > > > > Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> > > > > > > gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
> > > > > > >
> > > > > > > Erst einmal hängt x von t ab, und damit
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
> > > > > > >
> > > > > > > und damit kommt bei mir 0 heraus.
> > > > > > >
> > > > > > > Viele Grüße
> > > > > > > Rainer
> > > > > > D.h. dann [mm]\ddot{x}=F(x)[/mm] ist als [mm]\ddot{x}=F(x) \ \dot{x}[/mm] zu
> > > > > > lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
> > > > >
> > > > > Doch.
> > > > >
> > > > > Ist [mm]E(t)=\bruch{1}{2}x'(t)^2+V(x(t)),[/mm] so mußt Du nur
> > > > > differenzieren und verwenden, dass
> > > > >
> > > > > V'=-F und x''(t)=F(x(t))
> > > > >
> > > > > ist.
> > > > >
> > > > > Rechne doch einfach mal !
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > >
> > > > Intuitiv hab ich das ja auch so gemacht, also
> > > > [mm]E'(t)=x''-F=0[/mm], dann dachte ich aber (nach oberer Antwort),
> > > > dass wenn ich E nach t ableite folgendes rauskommt:
> > > > [mm]E'(t)=x''-F(x)x'[/mm]. Wo ist denn jetzt mein Fehler?
> > >
> > > Bin ich Hellseher ? Hier vorrechnen !! Sonst wird das nix.
> > Wahrscheinlich nicht. Okay, naja ich hab einfach nur
> > [mm]d_tE(t)=d_t (\frac{1}{2}\dot{x}^2)+d_tV(x(t))[/mm]
> >
> gerechnet
> > und dann [mm]d_t V(x(t))=-F(x(t))\dot{x}[/mm] eingesetzt, wobei
> > [mm]d_t=\frac{d}{dt}[/mm].
>
> .... und was ist die Ableitung von [mm]\frac{1}{2}\dot{x}^2[/mm] ?
oh ja, ziemlich doof, ich hab das nur partiell nach t abgeleitet, also nur die innere Ableitung gebildet. Also [mm] $d_t \frac{1}{2}\dot{x}^2=\dot{x}\ddot{x}$ [/mm] und jetzt passt es, oder?
Fur solche Fehler muss man sich echt entschuldigen. Danke fur die Hilfe!
>
> FRED
> >
> > >
> > > FRED
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > > Hallo!
> > > > > > > >
> > > > > > > > > Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem
> > > > > > > > > [mm]\ddot{x}=F(x),[/mm] [mm]x(t_{0})=x_{0},[/mm]
> > > > > > > [mm]\dot{x}(t_{0})=v_{0}.[/mm]
> > > > > > > > > Warum ist dann die Funktion
> > > > > > > > [mm]E=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}+V(x)[/mm]
> > > > > > > > > mit [mm]V(x)=-\int[/mm] F(x)dx
> > > > > > > > > konstant?
> > > > > > > > > Hallo,
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > die Frage ist wahrscheinlich trivial, ich will auch
> > > > > > > > > eigentlich nur wissen, nach was man da ableitet, also E
> > > > > > > > > wird als Funktion von was bertrachtet?
> > > > > > > >
> > > > > > > > Die unabhängige Variable ist t, wie du aus der DGL siehst.
> > > > > > > > Es geht also darum, zu zeigen, dass
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]\bruch{dE}{dt} =[/mm] .
> > > > > > > >
> > > > > > > > > Irgendwie soll dann ja schon sowas da als Ableitung stehen
> > > > > > > > > [mm]\ddot{x}-F(x)[/mm], was gleich 0 ist.
> Es
> > ist
> > > nun
> > > > > aber
> > > > > > so,
> > > > > > > > dass
> > > > > > > > > V nur von x abhänhgt, ich kann das also schlecht nach t
> > > > > > > > > differenzieren, und wenn ich das doch tue, dann bekomme ich
> > > > > > > > > die Ableitung nach x, also -F(x) mal der inneren Ableitung
> > > > > > > > > nach t also [mm]-F(x) \cdot v[/mm], was dazu führt, dass da nicht
> > > > > > > > > mehr 0 rauskommt. Was ist denn jetzt wie richtig?
> > > > > > > >
> > > > > > > > Es wäre einfacher, wenn du gepostet hättest, was du
> > > > > > > > gerechnet hast; so muss ich raten, was du meinst.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Erst einmal hängt x von t ab, und damit
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]\bruch{d}{dt} V(x(t)) = -F(x(t)) * \dot x(t)[/mm] ,
> > > > > > > >
> > > > > > > > und damit kommt bei mir 0 heraus.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Viele Grüße
> > > > > > > > Rainer
> > > > > > > D.h. dann [mm]\ddot{x}=F(x)[/mm] ist als [mm]\ddot{x}=F(x) \ \dot{x}[/mm] zu
> > > > > > > lesen? Ansonsten kommt da ja irgendwie nicht 0 raus oder?
> > > > > >
> > > > > > Doch.
> > > > > >
> > > > > > Ist [mm]E(t)=\bruch{1}{2}x'(t)^2+V(x(t)),[/mm] so mußt Du nur
> > > > > > differenzieren und verwenden, dass
> > > > > >
> > > > > > V'=-F und x''(t)=F(x(t))
> > > > > >
> > > > > > ist.
> > > > > >
> > > > > > Rechne doch einfach mal !
> > > > > >
> > > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > Intuitiv hab ich das ja auch so gemacht, also
> > > > > [mm]E'(t)=x''-F=0[/mm], dann dachte ich aber (nach oberer Antwort),
> > > > > dass wenn ich E nach t ableite folgendes rauskommt:
> > > > > [mm]E'(t)=x''-F(x)x'[/mm]. Wo ist denn jetzt mein Fehler?
> > > >
> > > > Bin ich Hellseher ? Hier vorrechnen !! Sonst wird das nix.
> > > Wahrscheinlich nicht. Okay, naja ich hab einfach nur
> > > [mm]d_tE(t)=d_t (\frac{1}{2}\dot{x}^2)+d_tV(x(t))[/mm]
> > >
> > gerechnet
> > > und dann [mm]d_t V(x(t))=-F(x(t))\dot{x}[/mm] eingesetzt, wobei
> > > [mm]d_t=\frac{d}{dt}[/mm].
> >
> > .... und was ist die Ableitung von [mm]\frac{1}{2}\dot{x}^2[/mm] ?
>
> oh ja, ziemlich doof, ich hab das nur partiell nach t
> abgeleitet, also nur die innere Ableitung gebildet. Also
> [mm]d_t \frac{1}{2}\dot{x}^2=\dot{x}\ddot{x}[/mm] und jetzt passt
> es, oder?
Ja
FRED
>
> Fur solche Fehler muss man sich echt entschuldigen. Danke
> fur die Hilfe!
>
> >
> > FRED
> > >
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > >
> >
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