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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - folgerung der H-A-Ungleichung
folgerung der H-A-Ungleichung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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folgerung der H-A-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 So 20.05.2012
Autor: eps

Aufgabe
zu zeigen für positiv definite Matrizen [mm] A_{ij}: [/mm]
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n A_{ij}^{-1})^{-1} \le [\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^n A_{ij})^{-1}]^{-1} [/mm]

ich weiss, dass [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n A_i \ge (\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n A_i^{-1})^{-1} [/mm]

ich komm leider nicht auf die obige ungleichung

        
Bezug
folgerung der H-A-Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:58 So 20.05.2012
Autor: eps

es gilt
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n A_{ij}^{-1})^{-1} \le \bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n A_{ij}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n A_{ij}) [/mm]

aber ich komm nicht weiter, denn
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n A_{ij})\ge (\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n A_{ij})^{-1})^{-1} [/mm]

oder mache ich einen fehler????

Bezug
                
Bezug
folgerung der H-A-Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 23.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
folgerung der H-A-Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:57 Mo 21.05.2012
Autor: wieschoo



Warum zwei Themen?
https://matheraum.de/read?t=890289

> zu zeigen für positiv definite Matrizen [mm]A_{ij}:[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n A_{ij}^{-1})^{-1} \le [\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^n A_{ij})^{-1}]^{-1}[/mm]
>  
> ich weiss, dass [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n A_i \ge (\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n A_i^{-1})^{-1}[/mm]
>  
> ich komm leider nicht auf die obige ungleichung


Bezug
                
Bezug
folgerung der H-A-Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:13 Mo 21.05.2012
Autor: eps

ich hab hier keine reaktion bekommen und bin echt am verzweifeln mit der aufgabe, tut mir leid

Bezug
        
Bezug
folgerung der H-A-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Mo 21.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> zu zeigen für positiv definite Matrizen [mm]A_{ij}:[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{j=1}^n (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n A_{ij}^{-1})^{-1} \le [\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n(\bruch{1}{n}\summe_{j=1}^n A_{ij})^{-1}]^{-1}[/mm]

Gemeint ist hier: [mm] $A_{ij}$ [/mm] ist fuer jedes $i$ und jedes $j$ eine positiv definite Matrix. Dann kann man die Ausdruecke auf der linken und rechten Seite bilden (beides Matrizen).

Fuer Matrizen $A$ und $B$ schreibt man $A [mm] \le [/mm] B$, falls $B - A$ positiv semidefinit ist.

Diese Ungleichung fuer hermitische Matrizen [mm] $A_{ij}$ [/mm] wurde 1969 von Anderson und Duffin in ihrem Artikel "Series and parallel addition of matrices" gezeigt, der im J. Math. Anal. Appl. veroeffentlicht wurde (26:576-594). Den Artikel kann man in einer nicht sehr lesbaren Version []hier finden, und gegen Geld in einer (vermutlich) lesbareren Form []hier.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
folgerung der H-A-Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:26 Mo 21.05.2012
Autor: eps

ja, ich kenn das paper, aber das hilft mir leider nicht weiter :( naja, vielleicht versteh ich es ja noch....

Bezug
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