www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionalanalysis" - Äquivalenz von Normen
Äquivalenz von Normen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Äquivalenz von Normen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Di 28.04.2015
Autor: riju

Aufgabe
Beweisen Sie, dass in einem endlichdimensionalen normierten Vektorraum [mm] (V, \parallel \parallel) [/mm] alle Normen zu einander äquivalent sind. Benutzen Sie folgende Beziehung: [mm] \parallel \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k} \parallel \ge c \summe_{k=1}^{n} |\alpha_{k}| [/mm]

Also ich habe bis jetzt folgendes:
zu zeigen: [mm] \exists \alpha ,\beta > 0 \forall \vec{u} \in V : \alpha \parallel \vec_{u} \parallel_{I} \le \parallel \vec_{u} \parallel \le \beta \parallel \vec_{u} \parallel_{I} [/mm]

als Tipp wurde mir noch folgendes gegeben:
[mm] span[u_{1},...,u_{n}]=\{\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k}, \alpha_{k} \in \IK\} [/mm]

Aber so richtig weiß ich jetzt nicht wie ich anfangen soll.
Hat vllt jemand eine Idee?

Vielen Dank
riju

        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Di 28.04.2015
Autor: fred97


> Beweisen Sie, dass in einem endlichdimensionalen normierten
> Vektorraum [mm](V, \parallel \parallel)[/mm] alle Normen zu
> einander äquivalent sind. Benutzen Sie folgende Beziehung:
> [mm]\parallel \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k} \parallel \ge c \summe_{k=1}^{n} |\alpha_{k}|[/mm]

Du darst also diese Beziehung benutzen (mit einem nur von [mm] \vec{u}_{1},...,\vec{u}_{n} [/mm] abhängigen c>0).


>  
> Also ich habe bis jetzt folgendes:
>  zu zeigen: [mm]\exists \alpha ,\beta > 0 \forall \vec{u} \in V : \alpha \parallel \vec_{u} \parallel_{I} \le \parallel \vec_{u} \parallel \le \beta \parallel \vec_{u} \parallel_{I}[/mm]
>  
> als Tipp wurde mir noch folgendes gegeben:
>  [mm]span[u_{1},...,u_{n}]=\{\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k}, \alpha_{k} \in \IK\}[/mm]
>  
> Aber so richtig weiß ich jetzt nicht wie ich anfangen
> soll.
>  Hat vllt jemand eine Idee?


Ich lasse die bekloppten Pfeile weg !

Sei [mm] \{u_1,...,u_n\} [/mm] eine Basis von V. Ist x [mm] \in [/mm] V, so ex. eindeutig bestimmte [mm] a_1,...,a_n \in \IK [/mm] mit [mm] x=a_1u_1+...+a_nu_n. [/mm]

Setze [mm] ||x||_0:=|a_1|+...+|a_n|. [/mm]

Zeige: [mm] ||*||_0 [/mm] ist eine Norm auf V.

Aus obiger Beziehung folgt dann:

  (1) [mm] c||x||_0 \le [/mm] ||x||  für alle x [mm] \in [/mm] V


Weiter ist

  [mm] ||x||=||a_1u_1+...+a_nu_n|| \le ||a_1|*||u_1||+...+|a_n|*||u_n|| \le C||x||_0, [/mm]

wobei C:=max [mm] \{ ||u_k||: k=1,...,n\}. [/mm] Somit

  (2) ||x|| [mm] \le C||x||_0 [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] V.


(1) und (2) zeigen:  ||*|| und [mm] ||*||_0 [/mm] sind äquivalent.

Ist nun [mm] ||*||_1 [/mm] eine weitere Norm auf V, so zeige:

     ||*|| und [mm] ||*||_1 [/mm] sind äquivalent.

FRED

>  
> Vielen Dank
>  riju


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]