Äquivalenz Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 01.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Leute!
Ich muss nämlich folgende Aufgabe lösen:
Sei V ein K-Vektorraum und sei [mm] B=(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] eine Basìs von V.
Weiter seien [mm] \alpha_{1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_{n} \in [/mm] K und
x = [mm] \alpha_{1} x_{1}+...+\alpha_{n} x_{n}.
[/mm]
Zeige, dass die folgenden Aussagen für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n äquivalent sind:
(i) [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{i-1}, [/mm] x, [mm] x_{i+1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] ist eine Basis von V.
(ii) [mm] \alpha_{i} \not= [/mm] 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mi 01.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Ich hab bei meiner Frage oben vergessen, meine "Frage" zu formulieren, bevor ich auf "senden" gedrückt habe. *hihi*
Also: Wie zeige ich den Schritt von (i) nach (ii)? Ich denke nämlich, wenn ich weiß, wie ich diesen Schritt mache, komme ich auch auf den Rückschritt. *hoffentlich*
Danke für eure Hilfe!
Destiny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 02.12.2004 | | Autor: | Hexe |
(i) [mm](x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{i-1},[/mm] x, [mm]x_{i+1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] ist eine Basis von V.
Das heißt im Besonderen x ist lin unabh von [mm] \{x_{1},...,x_{i-1},x_{i+1},..., x_{n}\}. [/mm] Also ist [mm] x=b_{1}x_{1}+...+b_{i-1}x_{i-1}+b_{i}x_{i+1}+...+b_{n-1}x_{n} [/mm] nicht lösbar und daraus folgt [mm] a_{i}\not= [/mm] 0
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 09:28 So 05.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallöchen!
Danke für deine Antwort, aber ich hätte da noch einige Fragen dazu, weil ich sie nicht ganz verstehe.
Also: wenn [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{i-1}, [/mm] x, [mm] x_{i+1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] eine Basis von V ist, bedeutet das doch, dass diese Familie unabhängig ist und dass sich jedes x [mm] \in [/mm] V linear kombinieren lässt aus einer endlichen Teilfamilie (Erzeugendensystem), oder?
Wie kommst du plötzlich auf
x= [mm] b_{1}x_{1}, [/mm] ..., [mm] b_{i-1}x_{i-1}, b_{i}x_{i+1}, [/mm] ..., [mm] b_{n-1} x_{n}) [/mm] ?
was ist dieses b überhaupt? und wieso lässt sich dieses gleichung oben nicht lösen?
Und warum folgt daraus, dass [mm] \alpha_{i} \not= [/mm] 0 ist?
Da ich ja die Äquivalenz von (i) und (ii) zeigen muss, muss ich auch noch beweisen, dass aus (ii) dann (i) folgt. Wie mach ich das?
Sorry, dass ich soviel frage, aber ich hab so meine Probleme in Algebra! Danke für deine Hilfe!
Destiny
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