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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Zinseszins Logarithmus
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Zinseszins Logarithmus: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 So 14.06.2020
Autor: crazy258

Aufgabe
Peter hat im Lotto gewonnen, sein Gewinn beträgt netto CHF 840'000.-. Diesen Betrag hat er zu einem festen Zinssatz von 5% angelegt. Er hat sich nun überlegt , dass er für seinen Lebensunterhalt pro Jahr einen Betrag von mindestens CHF 60'000.- benötigt. Nach wie vielen Jahren kann Peter alleine von den Zinsen seines Kapitals leben, ohne dass sein Vermögen vermindert wird?




Hi Leute, die Lösung, welche ich vom Lehrer erhalten habe ist n= 7,31, d.h. Peter kann im 8. Jahr alleine von den Zinsen leben, ohne dass sich sein Vermögen dabei vermindert....


ich habe für diese Aufgabe die Zinsformel nach n umgestellt und mithilfe von Logarithmusregeln versucht die Jahren zu ermitteln.

Wäre folgende Formel richtig, wäre Kn (Anfangskapital) und Ko(verzinstes Endkapital)

Kn = 840000 und Ko= 1'200'060.

Berechnung:

n= log1.05 (Kn/Ko) ?  

(1.05 weil hier log(1+p/100) und p = 5%)

Wie würdet ihr vorgehen?


        
Bezug
Zinseszins Logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 So 14.06.2020
Autor: Steffi21

Hallo,
zunächst ist zu klären, welches Kapital wirft Zinsen in Höhe von 60.000,00 CHF ab:

K*0,05=60.000,00

[mm] K=\bruch{60.000,00}{0,05}=1.200.000,00 [/mm] CHF

man benötigt also nach einer bestimmten Anzahl von Jahren ein Kapital in Höhe von 1.200.000,00 CHF

jetzt sind die Jahre n zu klären

[mm] K_n=K_0*1,05^{n} [/mm]

[mm] 1.200.000,00=840.000*1,05^{n} [/mm]

[mm] 1,05^{n}=\bruch{1.200.00,00}{840.000,00} [/mm]

jetzt benötigst Du die Logarithmengesetze

Steffi

Bezug
        
Bezug
Zinseszins Logarithmus: Differenz betrachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 14.06.2020
Autor: Infinit

Die Methode von Steffi führt schon auf das richtige Ergebnis. Es geht auch über eine Differenzenbetrachtung.
Nach n Jahren hat mein Kapital den Wert von
[mm] 840.000(1+0,05)^n [/mm] CHF und ein weiteres Jahr später beträgt es
[mm] 840.00 (1+0,05)^{n+1} [/mm] CHF.
Diese Differenz soll größer als die gewünschten 60.000 CHF sein.
Mit etwas ausklammern kommt man also auf die Ungleichung
[mm] 840.000(1+0,05)^n((1+0,05)-1) \ge 60.000 [/mm]. Dann beginnt das Logarithmieren.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
        
Bezug
Zinseszins Logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mo 29.06.2020
Autor: Josef


>  
> Wie würdet ihr vorgehen?
>  


[mm] 840.000*1,05^n [/mm] = [mm] \bruch{60.000}{0,05} [/mm]

840.000 * [mm] 1,05^n [/mm] = 1.200.000

[mm] 1,05^n [/mm] = 1,428571429

n = 7,31...


Viele Gerüße
Josef

Bezug
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