Weiße und rote Kugeln < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mo 11.01.2021 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Es werden 8 rote und 5 weiße Kugeln vor einander gelegt. Auf wieviele Arten ist das möglich? |
Moin Moin,
zunächst habe ich mir überlegt, welches Ziehungsmodell hier gilt.
Auf alle Fälle handelt es sich dabei um ein Ziehen ohne Zurücklegen.
Schwieriger finde ich, zu entscheiden, ob die Reihenfolge wichtig oder unwichtig ist. Sollte sie unwichtig sein, gibt es m.E. nur genau eine Art, oder?
Also ich komm ezu dem Schluss, dass keines der vier gängigsten Modelle hier anwendbar ist.
Meine Idee: [mm] \bruch{13!}{8!*5!} [/mm] =1287
Falls das stimmt, wie begründe ich das?
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] ?? Was allerdings ein Ziehen ohne Zurücklegen impliziert, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge???
Ist aber nicht rrrww... etwas anderes als wrwrr... ???
Oder habe ich gerad eienn Knoten im Kopf?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Di 12.01.2021 | | Autor: | statler |
> Es werden 8 rote und 5 weiße Kugeln vor einander gelegt.
> Auf wieviele Arten ist das möglich?
Guten Morgen!
> zunächst habe ich mir überlegt, welches Ziehungsmodell
> hier gilt.
>
> Auf alle Fälle handelt es sich dabei um ein Ziehen ohne
> Zurücklegen.
>
> Schwieriger finde ich, zu entscheiden, ob die Reihenfolge
> wichtig oder unwichtig ist. Sollte sie unwichtig sein, gibt
> es m.E. nur genau eine Art, oder?
>
>
> Also ich komm ezu dem Schluss, dass keines der vier
> gängigsten Modelle hier anwendbar ist.
Ich finde doch.
>
> Meine Idee: [mm]\bruch{13!}{8!*5!}[/mm] =1287
>
> Falls das stimmt, wie begründe ich das?
In der Urne sind die 13 Plätze. Ich ziehe 8 davon, ohne Zurücklegen, Reihenfolge ist egal. Da lege ich die roten Kugeln hin. Die freien Plätze sind dann natürlich für die weißen.
>
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*k!}[/mm] ?? Was allerdings ein Ziehen ohne
> Zurücklegen impliziert, ohne Berücksichtigung der
> Reihenfolge???
>
> Ist aber nicht rrrww... etwas anderes als wrwrr... ???
> Oder habe ich gerad eienn Knoten im Kopf?
>
Jetzt klarer?
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 12.01.2021 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> Guten Morgen!
>
> > zunächst habe ich mir überlegt, welches Ziehungsmodell
> > hier gilt.
> >
> > Auf alle Fälle handelt es sich dabei um ein Ziehen ohne
> > Zurücklegen.
> >
> > Schwieriger finde ich, zu entscheiden, ob die Reihenfolge
> > wichtig oder unwichtig ist. Sollte sie unwichtig sein, gibt
> > es m.E. nur genau eine Art, oder?
> >
> >
> > Also ich komm ezu dem Schluss, dass keines der vier
> > gängigsten Modelle hier anwendbar ist.
>
> Ich finde doch.
So kommen wir nicht weiter. Das ist erklärungsbedürftig. ^^
> >
> > Meine Idee: [mm]\bruch{13!}{8!*5!}[/mm] =1287
> >
> > Falls das stimmt, wie begründe ich das?
>
> In der Urne sind die 13 Plätze. Ich ziehe 8 davon, ohne
> Zurücklegen, Reihenfolge ist egal. Da lege ich die roten
> Kugeln hin. Die freien Plätze sind dann natürlich für
> die weißen.
Das ist ja nur eine Möglichkeit. Oder verstehst du die Fragestellung so, dass man erst alle roten und dann alle weißen Kugeln legt?
> > [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*k!}[/mm] ?? Was allerdings ein Ziehen ohne
> > Zurücklegen impliziert, ohne Berücksichtigung der
> > Reihenfolge???
> >
> > Ist aber nicht rrrww... etwas anderes als wrwrr... ???
> > Oder habe ich gerad eienn Knoten im Kopf?
> >
> Jetzt klarer?
Nicht wirklich.
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Hiho,
> So kommen wir nicht weiter. Das ist erklärungsbedürftig. ^^
> > In der Urne sind die 13 Plätze. Ich ziehe 8 davon, ohne
> > Zurücklegen, Reihenfolge ist egal. Da lege ich die roten
> > Kugeln hin. Die freien Plätze sind dann natürlich für
> > die weißen.
>
> Das ist ja nur eine Möglichkeit. Oder verstehst du die
> Fragestellung so, dass man erst alle roten und dann alle
> weißen Kugeln legt?
der Trick besteht darin zu erkennen, dass beide Arten zu ziehen identisch sind.
Heißt es sind identisch:
1.) Ich ziehe aus der Urne alle 13 Kugeln und lege sie so hin wie gezogen.
2.) Ich lege in die Urne stattdessen 13 Zettel mit den Zahlen 1-13 und ziehe 8x. Die gezogenen Nummern sind die Plätze, auf denen ich meine roten Kugeln platziere.
2'.) Ich lege in die Urne stattdessen 13 Zettel mit den Zahlen 1-13 und ziehe 5x. Die gezogenen Nummern sind die Plätze, auf denen ich meine weißen Kugeln platziere.
Bei 2 u. 2' ist sofort ersichtlich, dass es ein Ziehen und zurücklegen ist, bei dem die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Gruß,
Gono
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Bei so einer Fragestellung (versch. Farben) ist immer gemeint, dass nur die Farben-positionen eine Rolle spielen.
Lass mal die Urnenziehungen weg. Der Trick besteht darin, zunächst alle Kugeln durchzunummerieren, also doch unterscheidbar zu machen. Die kannst du nun auf 13! Arten anordnen.
Nun betrachtest du eine dieser Anordnungen. Die 8 roten und 5 weißen Kugeln liegen in einem bestimmten Muster. Wenn du nur irgendwelche roten Kugeln untereinander (!) vertauscht, ändert sich das Farbmuster aber nicht. Dafür gibt es 8! Möglichkeiten. Zu jeder dieser 8! Möglichkeiten gibt es aber zusätzlich noch 5! Möglichkeiten, die weißen Kugeln ebenfalls zu vertauschen, ohne das sich das Farbmuster ändert. Macht zusammen 8!5! Möglichkeiten.
Das bedeutet nun: Unter den anfänglich 13! Möglichkeiten kommt jedes Farbmuster 8!5! mal vor. Deshalb gibt es genau [mm] \bruch{13!}{8!5!} [/mm] verschiedene Farbmuster.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mi 13.01.2021 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank!!
Das habe ich jetzt verstanden. ^^
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