Viertel Kreisfläche mit Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 01.11.2016 | | Autor: | maush |
| Aufgabe | Begründen Sie, dass [mm] $K=\{(x,y)\in\mathbb{R}| x^2+y^2<1 \wedge x,y>0\}$ [/mm] messbar ist und berechnen Sie [mm] $\mu(K)$ [/mm] aus der Definition des Maßes.
Hinweis: Approximieren Sie K durch paarweise disjunkte Rechtecke und interpretieren das Maß ihrer Vereinigung als Riemann-Summe. |
Dass $K$ messbar ist, ist klar, denn immerhin ist die Menge ja offen (auf grund der Definition, da $<1$ verwendet wird.) Ist das richtig soweit?
Wie man das Maß berechnen kann, verstehe ich leider nicht. Nicht einmal im Ansatz (Definition des Maßes: siehe Definition unten). Wie komme ich da an die Rechtecke, die das ausfüllen? Hat jemand schonmal irgendwo diese Aufgabe gesehen? Kennt jemand die Lösung dieses Problems?
Definiert ist [mm] $\mu$ [/mm] wie folgt (äußeres Lebesgue-Maß):
Seien [mm] $a,b\in\mathbb{R}^n$.
[/mm]
Für jedes Interval [mm] $I=\{x\in\mathbb{R}|a_i \le x_i\le b_i\}\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] ist definiert: [mm] $m(I)=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)$ [/mm] bei den Intervallen kann auch $<$ eingesetzt werden.
Eine Einfache Menge ist eine Menge, die als endliche Vereinigung solcher Intervalle geschrieben werden kann. Die Menge aller einfachen Mengen ist ist $E$.
Ist [mm] $A=\cup_{i=0}^\infty E_i$ [/mm] mit [mm] $E_i\in [/mm] E$, alle [mm] E_i [/mm] paarweise disjunkt, so ist [mm] $\mu(A)=\sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
> Dass [mm]K[/mm] messbar ist, ist klar, denn immerhin ist die Menge
> ja offen (auf grund der Definition, da [mm]<1[/mm] verwendet wird.)
> Ist das richtig soweit?
korrekt.
Ist dir klar, wie K aussieht?
Dann könnte man die Fläche mal mit Schulwissen ausrechnen 
> Wie man das Maß berechnen kann, verstehe ich leider nicht.
> Nicht einmal im Ansatz (Definition des Maßes: siehe
> Definition unten). Wie komme ich da an die Rechtecke, die
> das ausfüllen? Hat jemand schonmal irgendwo diese Aufgabe
> gesehen? Kennt jemand die Lösung dieses Problems?
Ja & Ja.
Die Rechtecke musst du dir halt geschickt bauen, dass sie zu deinem Problem passen
> Definiert ist [mm]\mu[/mm] wie folgt (äußeres Lebesgue-Maß):
> Seien [mm]a,b\in\mathbb{R}^n[/mm].
> Für jedes Interval
Ich würde die Sachen nicht "Intervall" nennen, sondern Quader.
> [mm]I=\{x\in\mathbb{R}|a_i \le x_i\le b_i\}\subset\mathbb{R}^n[/mm]
> ist definiert: [mm]m(I)=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)[/mm] bei den
> Intervallen kann auch [mm]<[/mm] eingesetzt werden.
Es kann eine Seite [mm] $\le$ [/mm] und die andere $<$ gesetzt werden. Dann erhält man halboffene Quader.
> Eine Einfache Menge ist eine Menge, die als endliche
> Vereinigung solcher Intervalle geschrieben werden kann. Die
> Menge aller einfachen Mengen ist ist [mm]E[/mm].
> Ist [mm]A=\cup_{i=0}^\infty E_i[/mm] mit [mm]E_i\in E[/mm], alle [mm]E_i[/mm]
> paarweise disjunkt, so ist [mm]\mu(A)=\sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)[/mm]
und was ist mit Mengen, die nicht so geschrieben werden können?
Da fehlt ein wichtiger Baustein in der Definition des offenen Maßes (auch wenn du das hier, aufgrund eurer "Mix-Definition" vermutlich nicht brauchst).
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 02.11.2016 | | Autor: | maush |
Mit schulwissen ist die Lösung dieser Aufgabe deutlich leichter: Da hat man einfach [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm] (Weil [mm] $A=\pi r^2$). [/mm] Aber mit dem Maß läuft es eben auf diese Rechtecke hinaus? Also mir ist klar, dass man die mit immer kleiner werdenden rechtecken füllen muss, so dass die Fläche, die nicht mit rechtecken belegt ist, unendlich klein wird. Die Fläche der Rechtecke wird dann in einer Reihe summiert... Aber wie kommt man formal an solche Grenzwerte? Wie stellt man eine Summenformel dafür auf? Ich bin absolut ratlos :(
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Mit schulwissen ist die Lösung dieser Aufgabe deutlich
> leichter: Da hat man einfach [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] (Weil [mm]A=\pi r^2[/mm]).
> Aber mit dem Maß läuft es eben auf diese Rechtecke
> hinaus? Also mir ist klar, dass man die mit immer kleiner
> werdenden rechtecken füllen muss, so dass die Fläche, die
> nicht mit rechtecken belegt ist, unendlich klein wird. Die
> Fläche der Rechtecke wird dann in einer Reihe summiert...
> Aber wie kommt man formal an solche Grenzwerte? Wie stellt
> man eine Summenformel dafür auf? Ich bin absolut ratlos
> :(
dann machen wir mal weiter mit Grundwissen: wie würdest du die Fläche denn als bestimmtes Riemann-Integral berechnen? Wie würde die dazugehörige Riemann-Untersumme dazu aussehen?
Gruß,
Gono
|
|
|
|
