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Verteilungsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Di 25.05.2004
Autor: Mandy

Hallo,

ich habe große Probleme mit folgender Verteilungsfunktion:

f(x) = [mm] ax^3 [/mm] für 0<x<1, 0 sonst


a)

Bestimmen Sie a so, dass f Dichtefunktion (einer stetigen Zufallsvariable X) ist.

b)

Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x).

c)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X>= 0,5) und P(X<0,5)


Bei dem Aufgabenteil a) habe ich keine Probleme: a=4.
Jedoch komme ich bei den Aufgabenteilen b) und c) große Probleme. Es wäre echt super nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte!

Tausend Dank

Mandy



        
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Verteilungsfunktion: Crossposting
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Di 25.05.2004
Autor: Marcel

Hallo Mandy,
bitte lies dir nochmal den Hinweis zu Crosspostings durch:
[]Frage bei Onlinemathe.

PS: Sorry, dass ich dir nicht konkret helfe, aber ich habe momentan leider keine Zeit. Ich hoffe, du hast Verständnis und beherzigst aber dennoch den Hinweis zu Crosspostings in Zukunft :-)

Viele Grüße
Marcel

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Bezug
Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Mi 26.05.2004
Autor: Marcel

Hallo Mandy,
so, nun habe ich etwas Zeit, allerdings muss ich gestehen, dass ich mir bei meiner Antwort sehr unsicher bin. Ich hoffe, dass jemand anderes dies nochmal kontrolliert...

> f(x) = [mm] $ax^3$ [/mm]  für 0<x<1, 0 sonst ...
> Bei dem Aufgabenteil a) habe ich keine Probleme: a=4.

Ich gehe dann einfach mal davon aus, dass das stimmt (denn wenn ich das Integral über ganz [mm] $\IR$ [/mm] betrachte, kommt ja auch 1 heraus und die Nichtnegativität von f ist dann ja klar!).

> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x).

Sollte die dann nicht wie folgt aussehen?
$F(x)=0$, falls $x < 0$
[mm] $F(x)=x^4$, [/mm] falls $0 < x < 1$
$F(x)=1$, falls $x [mm] \ge [/mm] 1$

Dann wäre F nämlich stetig und stückweise stetig diff'bar und hätte die Dichte f, wie du sie notiert hast (mit a=4)...

> c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X>= 0,5) und P(X<0,5)

Das sollte dann doch mit dem Aufgabenteil b) gehen:
[mm] $P(X\ge0,5)=1-F(0,5)$... [/mm]

Allerdings muss ich gestehen, dass ich in Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. Stochastik nicht gerade begabt bin. Ich hoffe dann mal, dass man mich hier verbessert/ergänzt, falls ich total daneben liege. Es ist nur der Versuch einer Antwort in einem Gebiet, in dem ich selber einige Probleme hatte/habe :-)

PS: Ich habe mich etwas hieran orientiert, vielleicht hilft es dir ja auch etwas:
[]Folien

Viele Grüße
Marcel

Bezug
        
Bezug
Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:06 Mi 26.05.2004
Autor: Marc

Hallo Mandy,

> Hallo,
>  
> ich habe große Probleme mit folgender
> Verteilungsfunktion:

Äh, Dichtefunktion, oder?

> f(x) = [mm] ax^3 [/mm] für 0<x<1, 0 sonst
>  
>
> a)
>  
> Bestimmen Sie a so, dass f Dichtefunktion (einer stetigen
> Zufallsvariable X) ist.

Dazu muß nur gelten:

[mm] $\integral_{-\infty}^{+\infty} f(x)\;dx=1$ [/mm]

Integral nach Definitionsabschnitten aufteilen:

[mm] $\gdw\ \integral_{-\infty}^{0} f(x)\;dx+\integral_{0}^{1} f(x)\;dx+\integral_{1}^{+\infty} f(x)\;dx=1$ [/mm]

[mm] $\gdw\ \integral_{-\infty}^{0} 0\;dx+\integral_{0}^{1} ax^3\;dx+\integral_{1}^{+\infty} 0\;dx=1$ [/mm]

[mm] $\gdw\ \integral_{0}^{1} ax^3 \;dx=1$ [/mm]

[mm] $\gdw\ \left[ a*\bruch{1}{4}*x^4\right]_{0}^{1}=1$ [/mm]

[mm] $\gdw\ a*\bruch{1}{4}*1^4=1$ [/mm]

[mm] $\gdw\ [/mm] a=4$

[ok], dein Ergebnis stimmt.

> b)
>
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x).

Für eine Verteilungsfunktion gilt:

[mm] $F(x)=\integral_{-\infty}^x f(x)\;dx$ [/mm]

Nun sind hier dieselben Definitionsabschnitte zu wählen, die auch $f$ hat:

[mm] $x\le0$: $F(x)=\integral_{-\infty}^x f(x)\;dx=\integral_{-\infty}^x 0\;dx=0$ [/mm]
[mm] $0 $1<x$: [mm] $F(x)=\integral_{-\infty}^0 f(x)\;dx+\integral_{0}^1 f(x)\;dx+\integral_{1}^x f(x)\;dx=0+1+0=1$ [/mm]

Aber das hat Marcel schon alles angegeben.

> c)
>  
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X>= 0,5) und
> P(X<0,5)

Für die W'keit von Intervallen gilt:

[mm] $P(\]a,b\])=\integral_a^b f(x)\;dx=F(b)-F(a)$ [/mm]

Dabei kann [mm] $a,b\in\IR\cup\{\infty\}$ [/mm] sein.

Schreib uns doch mal deine Ergebnisse zum Vergleich :-)

Viele Grüße,
Marc

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