V ein K-VR, U,W Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Sa 23.06.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, sowie U,W Unterräume von V mit V=U+W:={u+w|u [mm] \in [/mm] U, w [mm] \in [/mm] W}
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) V=U [mm] \oplus [/mm] V, d.h. V=U+W und U [mm] \cap [/mm] w ={0}
(ii) Zu jedem v [mm] \in [/mm] V gibt es eindeutig bestimmte u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W mit v=u+w.
(iii) Ist u [mm] \in [/mm] U \ {0} und w [mm] \in [/mm] W \ {0}, so sind u und w linear unabhängig. |
Hallo Leute,
ich sitze gerade an obiger Aufgabe. Komme aber nciht sehr weit.
Dachte an Beweis mit Ringschluss, also [mm] (i)\Rightarrow(ii)\Rightarrow(iii)\Rightarrow(i).
[/mm]
[mm] "(i)\Rightarrow(ii)"
[/mm]
folgt sofort aus der Definition, dass jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V als Summe v=u+w mit u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W dargestellt werden kann.
Nun ist die Wohldefiniertheit zu zeigen:
Da U [mm] \cap [/mm] W ={0} folgt das es solche Darstellung V=u+w=u'+w' mit u,u' [mm] \in [/mm] U und w,w' [mm] \in [/mm] W (aus dieser Darstellung folgt u-u'=w'-w [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W) gibt. Also u=u' und w=w'
[mm] "(ii)\Rightarrow(iii)"
[/mm]
Hier hakt es auch schon!
Nun doch zum Versuch:
Da v=u+w und es sich um ein K-Vektorraum handelt, gibt es ein [mm] \alpha \in [/mm] K.
Also gilt auch folgende Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}*v_{i}=\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}*(u_{i}+w_{i})
[/mm]
mit u [mm] \not= [/mm] 0 und v [mm] \not= [/mm] 0, kann die Formel nur für [mm] \alpha_{i}=0 [/mm] erfüllt sein, was wiederum heißt, dass u [mm] \in [/mm] U \ {0} und w [mm] \in [/mm] W \ {0} linear unabhängig sind.
Jetzt müsse ich noch den Ring mit [mm] (iii)\Rightarrow(i) [/mm] schließen, allerdings verlässt mich hier jeglicher Geistesblitz.
Jemand Anregungen??
Oder/und Äußerungen, ob es bis hierhin wenigstens richtig ist?? (auch wenn es komisch aufgeschrieben ist)
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii) sieht gut aus.
Bei ii) [mm] \Rightarrow [/mm] iii) weiß ich nicht so recht, was du machst. Du willst wohl mit Komponenten arbeiten, aber du musst ja nicht unbedingt im Vektorraum [mm] K^n [/mm] sein.
Probiere es mal so:
Seien $u [mm] \in U\backslash \{0\}$ [/mm] und $w [mm] \in W\backslash \{0\}$. [/mm] Du willst nun zeigen: [mm] $\lambda u+\mu [/mm] w=0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = 0$. Nun kannst du ii) ins Spiel bringen, weil [mm] $\lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $\mu [/mm] w [mm] \in [/mm] W$ sind.
Und zu iii) [mm] \Rightarrow [/mm] i):
Ok, also $V=U+W$ hast du ja schon gegeben. Jetzt musst du noch zeigen, dass $U [mm] \cap W=\{ 0\}$ [/mm] ist. Nimm dazu einfach mal ein Element x aus $U [mm] \cap [/mm] W$, das nicht 0 ist. Das wollen wir nun zum Widerspruch führen, weil es so ein x gar nicht geben sollte. Dann ist $x [mm] \in U\backslash \{0\}$ [/mm] und $x [mm] \in W\backslash \{0\}$. [/mm] Kann das denn sein, wenn du dir die Aussage in iii) nochmal durchliest?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Sa 23.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hey,
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> Bei ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii) weiß ich nicht so recht, was du
> machst. Du willst wohl mit Komponenten arbeiten, aber du
> musst ja nicht unbedingt im Vektorraum [mm]K^n[/mm] sein.
Ich weiß jetzt gar nicht wie du auf [mm] K^{n} [/mm] kommst. In der Aufgabenstellung steht doch, dass V ein K-Vektorraum ist. Also dachte ich mir, dass ich mir die Definition einer Basis des Vektorraumes zu nutze machen kann. Und da heißt es für endlich viele [mm] v_{1},...,v_{n} \in [/mm] V und [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{n} \in [/mm] K bezeichnet man die Summe [mm] s=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}*v_{i} [/mm] als Linearkombination der Vektoren [mm] v_{1},...,v_{n}. [/mm]
Ist es hier nicht egal was n annimmt?? Die Formel ist doch allgemeingültig, oder nicht??
> Probiere es mal so:
> Seien [mm]u \in U\backslash \{0\}[/mm] und [mm]w \in W\backslash \{0\}[/mm].
> Du willst nun zeigen: [mm]\lambda u+\mu w=0 \Rightarrow \lambda = \mu = 0[/mm].
> Nun kannst du ii) ins Spiel bringen, weil [mm]\lambda u \in U[/mm]
> und [mm]\mu w \in W[/mm] sind.
Das [mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] U und [mm] \mu [/mm] w [mm] \in [/mm] W sind, liegt auch wieder an der Definition eines Vektorraumes, richtig??
> Und zu iii) [mm]\Rightarrow[/mm] i):
> Ok, also [mm]V=U+W[/mm] hast du ja schon gegeben. Jetzt musst du
> noch zeigen, dass [mm]U \cap W=\{ 0\}[/mm] ist. Nimm dazu einfach
> mal ein Element x aus [mm]U \cap W[/mm], das nicht 0 ist. Das wollen
> wir nun zum Widerspruch führen, weil es so ein x gar nicht
> geben sollte. Dann ist [mm]x \in U\backslash \{0\}[/mm] und [mm]x \in W\backslash \{0\}[/mm].
> Kann das denn sein, wenn du dir die Aussage in iii) nochmal
> durchliest?
Nein, so ein x kann es nicht geben, weil U [mm] \cap [/mm] W der Nullvektor ist...
Danke für deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Ok dann hab ich deine Ausführung nur falsch verstanden.
Ja, also dass [mm] $\lambda U\in [/mm] U$ und [mm] $\mu [/mm] w [mm] \in [/mm] W$ liegt daran, dass U und W Vektorräume sind. Aber damit ist der Beweis noch nicht fertig! Nach ii) weißt du, dass $u+ w=0$ genau eine Darstellung hat, und die kennst du sogar! Nämlich 0+0=0. Nun hast du [mm] $\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] w=0$ gegeben. Was folgt daraus?
Und zum letzten Schritt: ja, so ein x kann es nicht geben, aber das willst du ja gerade zeigen! Von daher kannst du noch nicht damit argumentieren.
Lies dir nochmal die Aussage iii) durch, wobei du für u und w den gleichen Vektor x einsetzt. Dann solltest du einen Widerspruch sehen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Sa 23.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hi nochmal!
> Ok dann hab ich deine Ausführung nur falsch verstanden.
>
> Ja, also dass [mm]\lambda U\in U[/mm] und [mm]\mu w \in W[/mm] liegt daran,
> dass U und W Vektorräume sind. Aber damit ist der Beweis
> noch nicht fertig! Nach ii) weißt du, dass [mm]u+ w=0[/mm] genau
> eine Darstellung hat, und die kennst du sogar! Nämlich
> 0+0=0. Nun hast du [mm]\lambda u + \mu w=0[/mm] gegeben. Was folgt
> daraus?
Okay, nun bin ich völlig verwirrt.
Wenn u+ w=0 nur die Darstellung 0+0=0 zulässt, folgt dass mit [mm] \lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] w=0 [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] beliebig sein können (da [mm] \lambda*0 [/mm] + [mm] \mu*0=0 [/mm] alles für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] zulässt, also z.B. 7*0+9*0=0). Allerdings ist doch die Lineare Unabhängigkeit so definiert, dass [mm] \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = 0 sein muss, damit die Vektoren linear unabhängig sind.
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, lösen wir das mal etwas auf. :)
[mm] $\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] w = 0$. Nach ii) weißt du, dass dann [mm] $\lambda [/mm] u =0$ und [mm] $\mu [/mm] w = 0$ sein müssen, wegen der Eindeutigkeit der Darstellung von 0. Nun sind aber u und w beide nicht 0 nach Voraussetzung in iii)! Also müssen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] beide zwangsweise 0 sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 23.06.2012 | | Autor: | silfide |
Okay, jetzt klingt es wieder logisch - nun weiß ich auch was du gemeint hast.
Verstehe allerdings immer noch nicht, warum ich, dass nicht mit [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0 [/mm] machen kann, ist dass nicht gehupt wie gesprungen??
Naja, wenn es gehupt wie gesprungen ist, sollte es mir vieleicht egal sein ... aber irgdendwie ist es das nicht...
Also: Kann man das so machen??
Hier wäre es ja:
[mm] \summe_{i=1}^{1}a_{1}v_{1}=\summe_{i=1}^{1}a_{1}(u_{1}+w_{1})=a_{1}u_{1}+a_{1}w_{1}=0 [/mm] und weil [mm] u,w\not=0 [/mm] -> [mm] a_{1}=0 [/mm] und somit linear unabhängig
Silfide
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:34 Sa 23.06.2012 | | Autor: | silfide |
Edit: Da es doch eine Frage wurde, und damit es ersichtlich ist - hier nun ein Doppelpost (was ich eigentlich hasse, also entschuldigt)
Okay, jetzt klingt es wieder logisch - nun weiß ich auch was du gemeint hast.
Verstehe allerdings immer noch nicht, warum ich, dass nicht mit [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0 [/mm] machen kann, ist dass nicht gehupt wie gesprungen??
Naja, wenn es gehupt wie gesprungen ist, sollte es mir vieleicht egal sein ... aber irgdendwie ist es das nicht...
Also: Kann man das so machen??
Hier wäre es ja:
[mm] \summe_{i=1}^{1}a_{1}v_{1}=\summe_{i=1}^{1}a_{1}(u_{1}+w_{1})=a_{1}u_{1}+a_{1}w_{1}=0 [/mm] und weil [mm] u,w\not=0 [/mm] -> [mm] a_{1}=0 [/mm] und somit linear unabhängig
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 So 24.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also ich weiß nicht genau, was du mit mit den [mm] u_i [/mm] und [mm] w_i [/mm] in [mm] \summe_{i=1}^{n}\alpha_i (u_i [/mm] + [mm] w_i) [/mm] meinst. Sollen das Basiselemente von U und W sein? Aber die Dimensionen der beiden Räume ist ja im allgemeinen $<n$! Ansonsten erkläre nochmal, was du genau machen wolltest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 24.06.2012 | | Autor: | silfide |
> Hi!
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> Also ich weiß nicht genau, was du mit mit den [mm]u_i[/mm] und [mm]w_i[/mm]
> in [mm]\summe_{i=1}^{n}\alpha_i (u_i[/mm] + [mm]w_i)[/mm] meinst. Sollen das
> Basiselemente von U und W sein? Aber die Dimensionen der
> beiden Räume ist ja im allgemeinen [mm]
> nochmal, was du genau machen wolltest.
Hey,
also zwischen dem [mm] \summe_{i=1}^{1}a_{1}v_{1} [/mm] und dem Schritt [mm] \summe_{i=1}^{1}a_{1}(u_{1}+w_{1}) [/mm] habe ich verwendet das v=u+w ist, was aus (ii) folgt.
Wobei man vllt. doch ehr so vorgehen müsste:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{n}v_{n}=\summe_{i=1}^{n}b_{n}u_{n}+$ \summe_{i=1}^{n}c_{n}w_{n}=0
[/mm]
Womit man wieder bei deiner Lösung wäre, oder??
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 So 24.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau, ich meinte eigentlich die Formel mit dem n aus deinem 1. Post.
Was genau sind da die [mm] u_i [/mm] und [mm] w_i? [/mm] Sollen die [mm] u_i [/mm] und [mm] w_i [/mm] eine Basis von U bzw. W sein oder sind das nur irgendwelche Elemente, die jeweils [mm] v_i [/mm] ergeben sollen, wobei [mm] v_i [/mm] eine Basis von V ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 24.06.2012 | | Autor: | silfide |
> Genau, ich meinte eigentlich die Formel mit dem n aus
> deinem 1. Post.
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> Was genau sind da die [mm]u_i[/mm] und [mm]w_i?[/mm] Sollen die [mm]u_i[/mm] und [mm]w_i[/mm]
> eine Basis von U bzw. W sein oder sind das nur irgendwelche
> Elemente, die jeweils [mm]v_i[/mm] ergeben sollen, wobei [mm]v_i[/mm] eine
> Basis von V ist?
Nein, dass sollten nur irgendwelche Elemente sein (gemäß (ii), die jeweils [mm] v_i [/mm] ergeben sollen.
Wenn es Basen wären, müsste ich ja noch zeigen das diese auch wirklich V aufspannen.
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 24.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, also du hast dann [mm] $\summe_{i=1}^{n}\alpha_i v_i=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i u_i+\summe_{i=1}^{n}\alpha_i w_i$. [/mm] Aber was nun? In deinem ersten Beitrag sagst du dann, dass u und w beide nicht 0 sind. Was meinst du mit u und w hier genau? Denn anstatt nur 2 Vektoren u und w anzuschauen, hast du ja nun 2n Vektoren [mm] u_i [/mm] und [mm] w_i [/mm] für i=1,...n hier!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 24.06.2012 | | Autor: | silfide |
> Ok, also du hast dann [mm]\summe_{i=1}^{n}\alpha_i v_i=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i u_i+\summe_{i=1}^{n}\alpha_i w_i[/mm].
> Aber was nun? In deinem ersten Beitrag sagst du dann, dass
> u und w beide nicht 0 sind. Was meinst du mit u und w hier
> genau? Denn anstatt nur 2 Vektoren u und w anzuschauen,
> hast du ja nun 2n Vektoren [mm]u_i[/mm] und [mm]w_i[/mm] für i=1,...n hier!
Ja, aber wenn n=1 ist, habe ich doch wieder nur 2 Vektoren.
Und die Formel ist doch allgemeingültig, also kann ich doch sagen, dass n=1 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 So 24.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, aber wenn n=1, dann ist dein Vektorraum nur eindimensional! Dann hast du es ja nicht für alle endlichdimensionalen vektorräume gezeigt.
Ansonsten argumentiere nochmal ganz sauber. Vielleicht sehe ich immer noch nicht, was du genau machen willst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Mo 25.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Teufel,
versuchen wir es mal anders:
Du meinst doch, dass u+w=0 bzw. [mm] \lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] w=0.
Wie kommst du darauf??
(Ja, ich weiß, dass man so die lineare Unabhängigkeit zeigt, allerdings haben wir die Gleichung immer aus etwas anderem abgeleitet - deshalb frage ich)
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe das so gemacht, weil mir nichts besseres eingefallen ist. :) Und wenn mir nichts einfällt, halte ich mich einfach streng an die Definition. Und dass Vektoren [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] linear unabhängig sind, bedeutet ja per Definition, dass [mm] $\lambda_1 a_1+...+\lambda_n a_n=0 \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0$.
[/mm]
In deinem Fall vereinfacht sich das dann z.B. zu [mm] $\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] w=0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 25.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hey,
Ja, genau von dieser Formel [mm] (\lambda_1 a_1+...+\lambda_n a_n=0 \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0) [/mm] bin ich auch ausgegangen, nur dass bei uns diese Formel
aus [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i a_i [/mm] folgt.
Also: [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i} a_i [/mm] = [mm] \lambda_1 a_1+...+\lambda_n a_n=0 \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0
[/mm]
Und wenn ich jetzt nur einen Vektor habe, dann ist n=1.
Betrachte ich, dass jetzt für v, ergibt sich [mm] \summe_{i=1}^{1}\lambda_{i} v_i =\lambda_1 v_1 \Rightarrow \lambda_1=0 [/mm] oder vereinfacht [mm] \summe_{i=1}^{1}\lambda_i v_i =\lambda [/mm] * v [mm] \Rightarrow \lambda=0 [/mm] und da v=u+w ist, folgt [mm] \summe_{i=1}^{1}\lambda_{i} v_i [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{1}\lambda_i(u_i+w_i)=\lambda [/mm] * [mm] (u+w)=\lambda [/mm] *u [mm] +\lambda*w \Rightarrow \lambda=0
[/mm]
Jedenfalls war das meine ursprüngliche Herangehensweise.
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, ich sehe, was du da machen wolltest. Aber leider geht das nicht! Du willst folgern: [mm] $\lambda [/mm] v = 0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 0$ Aber das stimmt ja nicht für alle Vektoren $v [mm] \in [/mm] V$. Ist z.B. v=0, so kannst du aus [mm] $\lambda [/mm] v = 0$ nichts von Wert folgern.
Die Implikation $ [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i a_i [/mm] =0 [mm] \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0$ [/mm] ist nur dann richtig, wenn die [mm] a_i [/mm] linear unabhängig sind. Für einen einzelnen Vektor ist das genau dann der Fall, falls er nicht der Nullvektor ist. Das ist der erste Punkt, aus dem dein Vorhaben nicht klappt.
Dann ist da noch, dass du [mm] $\lambda [/mm] (u+w)=0 [mm] \Rightarrow \lambda=0$ [/mm] zeigst. Aber das reicht nicht, du musst wirklich [mm] $\lambda [/mm] u+ [mm] \mu [/mm] w=0 [mm] \Rightarrow \lambda=\mu=0$ [/mm] zeigen. Das ist, als wenn du zeigen wolltest, dass im [mm] \IR^2 [/mm] die Vektoren (1,0) und (2,0) linear unabhängig sind. Natürlich sind sie das nicht, aber nach deinem Beweis wäre ja [mm] $\lambda ((1,0)+(2,0))=(3\lambda, [/mm] 0)=0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 0$.
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