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Unterraum, Teilmenge, Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Di 31.01.2012
Autor: qsxqsx

Hallo,

Ich soll beweisen dass [mm] (l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}. [/mm] Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht entziffern was [mm] (l_{\IR})^{2} [/mm] geschweige denn [mm] (l_{\IR})^{\infty} [/mm] sein soll...?

Danke sehr.

Grüsse

        
Bezug
Unterraum, Teilmenge, Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Di 31.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?

das sollte in Deinem Skript/Deiner Vorlesungsmitschrift stehen. Mehr als mutmaßen kann ich hier erstmal auch nicht - wieso schreibst Du die Lösung nicht mal hier rein?

Vermutlich, und davon gehe ich erstmal aus, ist
[mm] $$(\ell_{\IR})^2=\{f: \IN \to \IR: \sum_{n=1}^\infty |f(n)|^2 < \infty\}\,,$$ [/mm]
also die Menge aller reellwertigen Folgen, die in der 2-Norm beschränkt sind, und
[mm] $$(\ell_{\IR})^\infty=\{g: \IN \to \IR: \sup\{|g(n)|: n \in \IN\} < \infty\}\,,$$ [/mm]
also die Menge aller reellwertigen Folgen, die in der [mm] $\intfy$-Norm [/mm] beschränkt sind.

Gruß,
Marcel

Bezug
                
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Unterraum, Teilmenge, Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:19 Di 31.01.2012
Autor: qsxqsx

Hallo Marcel,

Achso...war mir eben nicht sicher. Dann ist es trivial. Danke.
Dann schreib ich mal noch den Beweis rein um das wissen im Internet zu erweitern:

Sei f [mm] \in l^{2}_{\IR} [/mm] und man nehme an f [mm] \not\in l^{\infty}_{\IR} [/mm]
das heisst es gibt eine positive Menge K [mm] \subseteq \IZ [/mm] für die gilt
||f[k]|| > M für alle k [mm] \in [/mm] K

So folgt [mm] \summe_{-\infty}^{\infty}|f[k]| \ge [/mm] |K|*M [mm] \ge [/mm] M
und damit f [mm] \not\in l^{2}_{\IR} [/mm] für M -> [mm] \infty. [/mm]

Grüsse

Bezug
                        
Bezug
Unterraum, Teilmenge, Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:43 Di 31.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>
> Achso...war mir eben nicht sicher. Dann ist es trivial.
> Danke.
>  Dann schreib ich mal noch den Beweis rein um das wissen im
> Internet zu erweitern:
>  
> Sei f [mm]\in l^{2}_{\IR}[/mm] und man nehme an f [mm]\not\in l^{\infty}_{\IR}[/mm]
>  
> das heisst es gibt

fehlt da nicht: für jedes $M > 0$?

> eine positive Menge K [mm]\subseteq \IZ[/mm]
> für die gilt
>  ||f[k]|| > M für alle k [mm]\in[/mm] K

>  
> So folgt [mm]\summe_{-\infty}^{\infty}|f[k]| \ge[/mm] |K|*M [mm]\ge[/mm] M
>  und damit f [mm]\not\in l^{2}_{\IR}[/mm] für M -> [mm]\infty.[/mm]

Das sieht aber ein bisschen nach "speziellen" summierbaren (reellwertigen) Familien aus (Indexmenge [mm] $I=\IZ$): [/mm]
[]http://www.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/ana1-sum.pdf

Aber das ganze geht ziemlich analog.

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Unterraum, Teilmenge, Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mi 01.02.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?
>  
> Danke sehr.
>  
> Grüsse

Marcel hat Dir ja gesagt, um welche Räume es sich oben handelt. Unten hast Du einen Widerspruchsbeweis für die Inklusion  [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]  gemacht. Direkt gehts aber ganz einfach:

Sei [mm] (a_n) \in (l_{\IR})^{2}. [/mm] Dann ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}|a_n|^2 [/mm] konvergent. Somit ist die Folge [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge und daher beschränkt. Folglich ist [mm] (a_n) \in (l_{\IR})^{\infty}. [/mm]

FRED


Bezug
                
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Unterraum, Teilmenge, Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 Mi 01.02.2012
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> > Hallo,
>  >  
> > Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> > Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> > entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> > [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?
>  >  
> > Danke sehr.
>  >  
> > Grüsse
>
> Marcel hat Dir ja gesagt, um welche Räume es sich oben
> handelt.

leider passt das nicht so 100%ig zu dem, was er in dem Beweis gepostet hat. Strenggenommen ist bei ihnen wohl
[mm] $$(\ell_{\IR})^2=\{f: \red{\IZ} \to \IR: \sum_{z \in \red{\IZ}}f(z)^2 < \infty\}\,.$$ [/mm]

Mit summierbaren Familien habe ich momentan nicht allzuviel am Hut, aber ich denke, dass man auch Deinen direkten Beweis da anpassen kann.
(Da gibt's ja sowas wie: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es eine Teilmenge [mm] $J_0$ [/mm] von [mm] $\IZ$ [/mm] so, dass für jede Obermenge $J [mm] \subseteq \IZ$ [/mm] von [mm] $J_0$ [/mm] folgt ... Damit bekommt man dann auch sowas, wie, dass, wenn man "über (alle bis auf endlich viele) Folgeglieder mit vom Betrage her hinreichend großen Indizes summiert, diese dann $< [mm] \epsilon$ [/mm] werden (das entspricht wohl so einer Art "Cauchyfolgeneigenschaft", die ja auch konvergente Reihen haben). Und damit muss sicher sowas wie [mm] $a_{z} \to [/mm] 0$ für $|z| [mm] \to \infty$ [/mm] gelten." Liege ich da richtig?)

Gruß,
Marcel

Bezug
                        
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Unterraum, Teilmenge, Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:19 Do 02.02.2012
Autor: qsxqsx

Danke... was wär ich nur ohne euch?!

Gute Nacht.

Bezug
                        
Bezug
Unterraum, Teilmenge, Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Do 02.02.2012
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > > Hallo,
>  >  >  
> > > Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> > > Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> > > entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> > > [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?
>  >  >  
> > > Danke sehr.
>  >  >  
> > > Grüsse
> >
> > Marcel hat Dir ja gesagt, um welche Räume es sich oben
> > handelt.
>
> leider passt das nicht so 100%ig zu dem, was er in dem
> Beweis gepostet hat. Strenggenommen ist bei ihnen wohl
>  [mm](\ell_{\IR})^2=\{f: \red{\IZ} \to \IR: \sum_{z \in \red{\IZ}}f(z)^2 < \infty\}\,.[/mm]
>  
> Mit summierbaren Familien habe ich momentan nicht allzuviel
> am Hut, aber ich denke, dass man auch Deinen direkten
> Beweis da anpassen kann.
> (Da gibt's ja sowas wie: Für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es
> eine Teilmenge [mm]J_0[/mm] von [mm]\IZ[/mm] so, dass für jede Obermenge [mm]J \subseteq \IZ[/mm]
> von [mm]J_0[/mm] folgt ... Damit bekommt man dann auch sowas, wie,
> dass, wenn man "über (alle bis auf endlich viele)
> Folgeglieder mit vom Betrage her hinreichend großen
> Indizes summiert, diese dann [mm]< \epsilon[/mm] werden (das
> entspricht wohl so einer Art "Cauchyfolgeneigenschaft", die
> ja auch konvergente Reihen haben). Und damit muss sicher
> sowas wie [mm]a_{z} \to 0[/mm] für [mm]|z| \to \infty[/mm] gelten." Liege
> ich da richtig?)


Hallo Marcel,

Sei [mm] (a_k)_{k \in \IZ} [/mm] eine Folge reeller (oder komplexer) Zahlen. Für n [mm] \in \IN_0 [/mm] setze

                         [mm] $s_n:=\summe_{k=-n}^{n}a_k$ [/mm]

Dann heißt [mm] \summe_{k \in \IZ}^{}a_k [/mm] konvergent : [mm] \gdw (s_n)_{n \in \IN_0} [/mm] ist konvergent.

Wie bei "normalen" Reihen zeigt man:

                [mm] \summe_{k \in \IZ}^{}a_k [/mm] konvergent   [mm] \Rightarrow $a_k \to [/mm] 0$  für $|k| [mm] \to \infty$ [/mm]

Gruß FRED

>  
> Gruß,
>  Marcel


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