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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Slicex |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung für zwei reelle Zahlen x , y > 0:
Für a > 1 gilt [mm] (x+y)^a [/mm] > [mm] x^a [/mm] + [mm] y^a [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen :)
Mittlerweile hänge ich schon etwas länger an der vermutlich gar nicht so schweren Aufgabe, da ich nicht so recht weiß, wie ich die Sache angehen soll. Das ist meine erste Aufgabe, die ich mit dem Mittelwertsatz lösen soll, doch ich habe bisher nur Vermutungen angestellt und ein wenig probiert, so richtig möchte mir das Thema nicht ans Herz wachsen.
Auch in anderen Forenbeiträgen habe ich schonmal geschaut, wie es gemacht wurde, kann es aber nicht ganz auf meine Aufgabe übertragen. Ich schreibe einfach mal auf, was ich bisher geschrieben habe.
Zuerst habe ich versucht, die Ungleichung umzuformen:
[mm] (x+y)^a [/mm] > [mm] x^a [/mm] + [mm] y^a
[/mm]
[mm] \gdw (x+y)^a [/mm] - [mm] y^a [/mm] > [mm] x^a
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(x+y)^a - y^a}{x} [/mm] > [mm] x^{a-1}
[/mm]
Und das sah für mich wie der Mittelwertsatz aus, einmal mit x im Argument und einem mit 0
[mm] \bruch{f(x) - f(0)}{x - 0} [/mm] > [mm] x^{a-1}
[/mm]
Und dies ist gleich der Ableitung an der Stelle [mm] x_{0}
[/mm]
[mm] \bruch{f(x) - f(0)}{x - 0} [/mm] = [mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] a(x_{0} [/mm] + [mm] y)^{a-1} [/mm] //Kleine Korrektur: Aus Minus wird Plus
Und jetzt hänge ich hier:
[mm] a(x_{0} [/mm] + [mm] y)^{a-1} [/mm] > [mm] x^{a-1} [/mm] //Kleine Korrektur: Aus Minus wird Plus
Ich weiß leider nicht, wie man hier weitermacht und wie man auf die ursprüngliche Gleichung kommt. Ich würde mich freuen, wenn ich mit jemandem die Lösung erarbeiten könnte. Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Slicex
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Hallo,
Deine Vorüberlegungen erscheinen mir sehr trichreich und erfolgversprechend
> Zeigen Sie mithilfe des Mittelwertsatzes der
> Differentialrechnung für zwei reelle Zahlen x , y > 0:
> Für a > 1 gilt [mm](x+y)^a[/mm] > [mm]x^a[/mm] + [mm]y^a[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen :)
>
> Mittlerweile hänge ich schon etwas länger an der
> vermutlich gar nicht so schweren Aufgabe, da ich nicht so
> recht weiß, wie ich die Sache angehen soll. Das ist meine
> erste Aufgabe, die ich mit dem Mittelwertsatz lösen soll,
> doch ich habe bisher nur Vermutungen angestellt und ein
> wenig probiert, so richtig möchte mir das Thema nicht ans
> Herz wachsen.
> Auch in anderen Forenbeiträgen habe ich schonmal
> geschaut, wie es gemacht wurde, kann es aber nicht ganz auf
> meine Aufgabe übertragen. Ich schreibe einfach mal auf,
> was ich bisher geschrieben habe.
>
> Zuerst habe ich versucht, die Ungleichung umzuformen:
>
> [mm](x+y)^a[/mm] > [mm]x^a[/mm] + [mm]y^a[/mm]
>
> [mm]\gdw (x+y)^a[/mm] - [mm]y^a[/mm] > [mm]x^a[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{(x+y)^a - y^a}{x}[/mm] > [mm]x^{a-1}[/mm]
>
> Und das sah für mich wie der Mittelwertsatz aus, einmal
> mit x im Argument und einem mit 0
>
Es könnten doch auch die Argumente x+y und y sein.
(Bei der Funktion hast Du doch sicher auch an [mm] f(x)=x^n [/mm] gedacht?)
Versuchs doch mal damit
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 06.03.2012 | | Autor: | Slicex |
> Hallo,
> Deine Vorüberlegungen erscheinen mir sehr trichreich und
> erfolgversprechend
Danke, das ist sehr motivierend! :)
> Es könnten doch auch die Argumente x+y und y sein.
> (Bei der Funktion hast Du doch sicher auch an [mm]f(x)=x^n[/mm]
> gedacht?)
>
> Versuchs doch mal damit
> Gruß korbinian
Dein Tipp ist hilfreich. Ich hoffe, der Antwort etwas näher gekommen zu sein. Mit y - y habe ich eine Null hinzuaddiert, um dem Mittelwertsatz näher zu kommen:
[mm] \bruch{f(x+y) - f(y)}{(x+y) - y} [/mm] = [mm] f'(x_{0}) [/mm] > [mm] x^{a-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(x+y)^a - y^a}{(x+y) - y} [/mm] = [mm] ax_{0}^{a-1} [/mm] > [mm] x^{a-1}
[/mm]
Dem MWS entsprechend gilt [mm]x+y \ge x_{0} \ge y[/mm]
Bringe ich alles in die ursprüngliche Form zurück, erhalte ich:
(mit x multiplizieren)
[mm] (x+y)^a [/mm] - [mm] y^a [/mm] = [mm] axx_{0}^{a-1} [/mm] > [mm] x^a
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (mit [mm] y^a [/mm] addieren)
[mm] (x+y)^a [/mm] = [mm] axx_{0}^{a-1} [/mm] + [mm] y^a [/mm] > [mm] x^a [/mm] + [mm] y^a
[/mm]
Bin ich vielleicht schon etwas zu weit? Oder gar schon fertig? Leider weiß ich erneut ab hier nicht mehr weiter und ich bin mir auch noch nicht im Klaren darüber, wo es eigentlich genau hingeht. Ich überlege noch, ob ich etwas mit der Voraussetzung
[mm]x+y \ge x_{0} \ge y[/mm]
anfangen kann, aber momentan stecke ich hier fest.
Ich habe jetzt [mm] (x+y)^a [/mm] in sozusagen "getrennter Form", also in Form der rechten Seite der ursprünglichen Ungleichung, stehen und schätze nach unten ab. Doch wie gesagt, ich bin bestimmt noch nicht fertig.
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Hiho,
du brauchst doch gar nicht groß eine "zusätzliche Null" hinzufügen.
Halten wir fest, wo du stehengeblieben warst, du wolltest zeigen:
[mm] $\bruch{(x+y)^\alpha - y^\alpha}{x} [/mm] > [mm] x^{\alpha -1}$
[/mm]
Sei nun zu oBdA [mm] $y\ge [/mm] x$ und $f(x) = [mm] (x+y)^\alpha$, [/mm] dann liefert dir der MWS die Existenz eines $0< [mm] x_0 [/mm] < x$ mit
[mm] $\bruch{(x+y)^\alpha - y^\alpha}{x} [/mm] = [mm] \alpha*(x_0 [/mm] + [mm] y)^{\alpha-1} [/mm] > [mm] \alpha*x^{\alpha-1} \ge x^{\alpha-1}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 06.03.2012 | | Autor: | Slicex |
Ich weiß nicht genau, ob ich es nun verstanden habe, aber die rechte Seite sieht zusätzlich so aus, als wäre sie einmal nach x abgeleitet worden. Die linke Seite ebenso.
[mm] \alpha\cdot{}(x_0 [/mm] + [mm] y)^{\alpha-1} [/mm] > [mm] \alpha\cdot{}x^{\alpha-1}
[/mm]
Damit wäre ja (so glaube ich) gezeigt, dass die linke Seite aufgrund des fehlenden Summanden der rechten Seite größer sein muss. Allein durch die Voraussetzung x [mm] \le [/mm] y
und deshalb gilt:
[mm] (x+y)^a [/mm] > [mm] x^a [/mm] + [mm] y^a
[/mm]
Tut mir leid, es wäre nett, wenn mir jemand noch einmal Hilfestellung hierbei geben könnte, denn ich bin mir nicht im Klaren, wie ich die Aufgabe vollständig abschließen kann bzw. wie ich dies sauber aufschreibe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Gono hatte oBdA $ y\ge x $ und $ f(x) := (x+y)^\alpha $
Dann ist
$ \bruch{(x+y)^\alpha - y^\alpha}{x} =\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}.$
Der MWS liefert die Existenz eines $ 0< x_0 < x $ mit
$ \bruch{(x+y)^\alpha - y^\alpha}{x} =\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_0)= \alpha\cdot{}(x_0 + y)^{\alpha-1} $
Nun ist x_0+y \ge x_0+x>x, also (x_0 + y)^{\alpha-1}> x^{\alpha-1}. Wegen \alpha>1 folgt:
$ \bruch{(x+y)^\alpha - y^\alpha}{x} =\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_0)= \alpha\cdot{}(x_0 + y)^{\alpha-1} > \alpha\cdot{}x^{\alpha-1} \ge x^{\alpha-1$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Di 06.03.2012 | | Autor: | Slicex |
Herzlichen Dank für die tolle Hilfe an alle Beteiligten! =)
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