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Trigonomische Gleichung: cosinus
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Mi 27.11.2013
Autor: sonic5000

Hallo,
folgende Gleichung soll nach x umgestellt werden:

[mm] \wurzel{cos(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]

Ich komme auf:

[mm] x_1 [/mm] = 2,0472 + k * [mm] 2*\pi [/mm]

Wie komme ich auf die folgende zweite Lösung:

[mm] x_2 [/mm] = -0,0427 + k* [mm] 2*\pi [/mm]

LG und Besten Dank im Voraus...




        
Bezug
Trigonomische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Do 28.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  folgende Gleichung soll nach x umgestellt werden:
>  
> [mm]\wurzel{cos(x-1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>  
> Ich komme auf:
>  
> [mm]x_1[/mm] = 2,0472 + k * [mm]2*\pi[/mm]
>  
> Wie komme ich auf die folgende zweite Lösung:
>  
> [mm]x_2[/mm] = -0,0427 + k* [mm]2*\pi[/mm]
>  
> LG und Besten Dank im Voraus...

das ist jetzt sehr spärlich, es wäre sinnvoll, Deine Rechnung mitzuliefern:

Bei

    [mm] $\sqrt{\cos(x-1)}=1/\sqrt{2}$ [/mm]

muss der Term unter der Wurzel (Radikand) [mm] $\ge [/mm] 0$ sein. Damit folgt

    [mm] $\sqrt{\cos(x-1)}=1/\sqrt{2}$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $\cos(x-1) \ge [/mm] 0$    und    [mm] $\cos(x-1)=1/2\,.$ [/mm]

Wenn wir uns mal auf $x-1=:z [mm] \in [0,2\pi[\,$ [/mm] beschränken: Für $0 [mm] \le [/mm] z < [mm] 2\pi$ [/mm] hat

    [mm] $\cos(z) \ge [/mm] 0$    und    [mm] $\cos(z)=1/2$ [/mm]

genau zwei Lösungen:

    1. [mm] $z_1=\pi/3\,;$ [/mm]

    2. [mm] $z_2=2\pi-\pi/3=\frac{5}{3}\pi\,.$ [/mm]

Resubstituieren, und Du bekommst die zwei Lösungen [mm] $x_1,x_2 \in [1,\,1+2\pi[\,.$ [/mm]

Der Rest ist klar, oder? [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] des Kosinus.

Ich würde Dir übrigens empfehlen: Schreibe bei Dir

    [mm] $x_{1,k}=(1+\pi/3)+k*2\pi \approx [/mm] 2,0472 + k [mm] *2\pi$ [/mm] oder [mm] $x_{1}(k)=...$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$) [/mm]

und analoges auch für das, was Du "nur" [mm] $x_2$ [/mm] genannt hast...

P.S. Damit Du weißt, wieso ich mir

    [mm] $\cos(z)=1/2$ [/mm] gilt für [mm] $z=\pi/3$ [/mm]

ohne nachzurechnen herleiten kann:
Zeichne Dir mal ein gleichseitiges Dreieck und in dieses eine Höhe ein...

P.P.S. Deine [mm] $x_2=x_{2,k}$ [/mm] stimmen nicht!

Gruß,
  Marcel

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