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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in M_{m \times n} (\IR)
[/mm]
Zeige [mm] A^t [/mm] A >=0 und [mm] A^t [/mm] A >0, falls rank(A) =n |
Ich bin da leich überfordert
[mm] (A_{ij})^t [/mm] = [mm] A_{ji}
[/mm]
[mm] (A_{ij})^t A_{ij} [/mm] = [mm] A_{ji} A_{ij} [/mm] = [mm] \sum A_{jk} A_{kj}
[/mm]
Hat da wer eine Idee?
Danke, liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei A [mm]\in M_{m \times n} (\IR)[/mm]
> Zeige [mm]A^t[/mm] A >=0 und [mm]A^t[/mm] A
> >0, falls rank(A) =n
> Ich bin da leich überfordert
> [mm](A_{ij})^t[/mm] = [mm]A_{ji}[/mm]
>
> [mm](A_{ij})^t A_{ij}[/mm] = [mm]A_{ji} A_{ij}[/mm] = [mm]\sum A_{jk} A_{kj}[/mm]
>
Erinnerung: Eine Matrix $P [mm] \in M_{n \times n}(\IR)$ [/mm] ist genau dann positiv semidefinit, wenn für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt [mm] $x^t [/mm] P x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Es ist $A^tA [mm] \in M_{n \times n}(\IR)\,.$ [/mm] Für jedes $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt
[mm] $$x^t(A^t [/mm] A)x=...$$
Siehst Du, wie's weitergeht? Falls nicht: Setze [mm] $y:=A*x\,.$ [/mm] Dann ist $y [mm] \in M_{m \times 1}(\IR)\cong \IR^m\,.$ [/mm] Bekanntlich (oder wie Du leicht nachrechnest) folgt sodann $y^ty [mm] \ge [/mm] 0$...
Und nun überlege Dir mal die Zusatzaussage: Nimm' an, es wäre [mm] $\text{rank}(A)=n$ [/mm] und nimm' an, es gäbe $x [mm] \in \IR^n\setminus \{0\}$ [/mm] (die [mm] $0\,$ [/mm] ist die des [mm] $\IR^n$) [/mm] mit [mm] $x^t(A^t [/mm] A)x=0$ (hier ist die [mm] $0\,$ [/mm] nach dem Gleichheitszeichen natürlich die aus [mm] $\IR$)...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
$ [mm] x^t(A^t [/mm] A)x= [mm] y^t [/mm] y
wobei y= Ax und y [mm] \in M_{m \times 1} [/mm]
Hier wird dann ein Zeilenvektor mit seinen SPaltenvektor multipliziert.
Und ein Quadrat einer zahl ist immer größer gleich 0
[mm] y^t [/mm] y >= 0
aber da habe ich doch noch ein x, was in der angabe nicht steht!
> Nimm' an, es wäre $ [mm] \text{rank}(A)=n [/mm] $ und nimm' an, es gäbe $ x [mm] \in \IR^n\setminus \{0\} [/mm] $ (die $ [mm] 0\, [/mm] $ ist die des $ [mm] \IR^n [/mm] $) mit $ [mm] x^t(A^t [/mm] A)x=0 $ (hier ist die $ [mm] 0\, [/mm] $ nach dem Gleichheitszeichen natürlich die aus $ [mm] \IR [/mm] $)...
Dein Ansatz ist klar, nun sollte es zu einen Widerspruch kommen?
Ich sehe nicht was der Rang nun mit unerer Gleichung zu tun hat, also was mir der Rang hilft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 27.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch [mm] x^t(A^t*A)x=||Ax||^2, [/mm] wobei ||*|| die euklidische Norm auf dem [mm] \IR^n [/mm] ist.
Wenn also ||Ax||=0 ist und rank(A)=n ist, was folgt dann für x ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
> Es ist doch $ [mm] x^t(A^t\cdot{}A)x=||Ax||^2, [/mm] $
Das verstehe ich nicht ganz.
Ich schätze mal du nimmst das STandart innere Produkt her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es ist doch [mm]x^t(A^t\cdot{}A)x=||Ax||^2,[/mm]
> Das verstehe ich nicht ganz.
> Ich schätze mal du nimmst das STandart innere Produkt
> her?
ja, und er betrachtet die Norm, die dadurch induziert wird (siehe P.P.S.). Aber Fred hat sich ein wenig verschrieben:
Du hast ja $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR) \cong \IR^{m \times n}$ [/mm] (stimmt doch: [mm] $m\,$ [/mm] Zeilen und [mm] $n\,$ [/mm] Spalten hat [mm] $A\,$ [/mm] mit Einträgen alle aus [mm] $\IR$ [/mm] - oder wie ist da Eure Konvention für [mm] $M_{m \times n}(\IR)$?) [/mm] und $x [mm] \in \IR^n \cong M_{n \times 1}(\IR)\,.$
[/mm]
Daher ist $y:=A*x [mm] \in \IR^{m \times 1} \cong \IR^m\,.$ [/mm] Und [mm] $y^ty=(x^tA^t)(Ax)=x^t(A^tA)x$ [/mm] ist dann nichts anderes als die euklidische Norm von [mm] $y\,$ [/mm] zum Quadrat - und damit als Quadratzahl einer reellen Zahl (wobei sogar ja schon die reelle - nämlich [mm] $\|y\|$ [/mm] als Auswertung einer Norm an der Stelle [mm] $y\,$- $\ge [/mm] 0$ ist) sicher [mm] $\ge 0\,.$
[/mm]
Und Fred hat sich halt an der Stelle verschrieben, wo er sagte, dass [mm] $\|.\|$ [/mm] die euklidische Norm des [mm] $\IR^{\red{n}}$ [/mm] ist - er meinte [mm] $\IR^{\textbf{\blue{m}}}\,.$
[/mm]
P.S.
Auf dem [mm] $\IR^p$ [/mm] ist mit [mm] $\|.\|: \IR^p \to [0,\infty)$ [/mm] definiert durch [mm] $\|x\|:=\|.\|(x):=x^t x=\sum_{k=1}^p x_k^2$ [/mm] eine Norm definiert. Wenn Du für $x,y [mm] \in \IR^p$ [/mm] das euklidische Standardskalarprodukt, also das innere Produkt, mit [mm] $\bullet$ [/mm] bezeichnest - es ist definiert durch [mm] $\bullet(x,y):=x \bullet y:=x^t y=\sum_{k=1}^p x_k y_k$ [/mm] für $(x,y) [mm] \in \IR^p \times \IR^p$ [/mm] - dann gilt [mm] $\|x\|^2=x \bullet x=x^t x\,.$
[/mm]
P.P.S.
Allgemein: Ist [mm] $V\,$ [/mm] ein Vektorraum mit Skalarprodukt $s: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR\,,$ [/mm] dann ist [mm] $(V,n)\,$ [/mm] ein normierter Raum, wenn man
$n: V [mm] \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $n(v):=\sqrt{s(v,v)}$ [/mm] für alle $v [mm] \in [/mm] V$
definiert. Beachte dabei auch die Konvention [mm] $s(v,v)=s((v,v))\,.$ $n\,$ [/mm] heißt dann die durch [mm] $s\,$ [/mm] induzierte Norm!
Und damit das obige noch deutlicher wird:
Beachte die Rechenregel [mm] $(A*B)^t=B^t*A^t$ [/mm] (sofern das Matrixprodukt linkerhand definiert ist). Denn damit siehst Du (Assoziativität darfst Du ja benutzen bei Matrixprodukten) mit $y:=Ax$:
[mm] $$x^t(A^t A)x=(x^tA^t)*(Ax)=(Ax)^t*Ax=y^t*y=\|y\|^2\,.$$
[/mm]
Jetzt klarer?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
Jap das ist mir nun 100 % klar, jedoch happert es noch an dem zweiten Teil:
[mm] A^t [/mm] A >0 falls rank(A)=n
D.h. ich soll zeigen dass wenn der Rank von A = n ist so, kann [mm] A^t [/mm] A nicht 0 sein? oder wie=??
rank(A) =n
<=> A injektiv
<=> A nur trivialen kern
ker(A) = {0}
hilft mir das hier weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jap das ist mir nun 100 % klar, jedoch happert es noch an
> dem zweiten Teil:
> [mm]A^t[/mm] A >0 falls rank(A)=n
> D.h. ich soll zeigen dass wenn der Rank von A = n ist so,
> kann [mm]A^t[/mm] A nicht 0 sein? oder wie=??
wieso? Bei Matrizenmultiplikationen ist es doch ein wenig anders wie beim Rechnen mit reellen Zahlen: In [mm] $\IR$ [/mm] gilt $a*b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (a=0 [mm] \text{ oder }b=0)\,.$
[/mm]
Bei einer Matrix $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR)$ [/mm] sieht das bei der Gleichung
[mm] $$(\*)\;\;\;A*x=0\,,$$
[/mm]
wenn wir die $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] bestimmen wollen, für die [mm] $(\*)$ [/mm] gilt, doch anders aus. Da wissen wir nur, dass [mm] $\{0\}$ [/mm] (wobei die $0 [mm] \in \IR^n$ [/mm] gemeint ist) eine Teilmenge des Unterraums vom [mm] $\IR^n$ [/mm] ist, der alle Elemente $x [mm] \in \IR^n\,,$ [/mm] die [mm] $(\*)$ [/mm] lösen, enthält. Und es gilt hier keinesfalls, dass $A [mm] \not=0$ [/mm] (die Nullmatrix aus [mm] $M_{m \times n}(\IR)$) [/mm] implizieren würde, dass [mm] $x=0\,$ ($\in \IR^n$) [/mm] sein muss!
> rank(A) =n
> <=> A injektiv
> <=> A nur trivialen kern
> ker(A) = {0}
> hilft mir das hier weiter?
Fast. Das brauchst Du am Ende. Fang' doch so an:
Sei nun [mm] $\text{rank}(A)=n\,.$ [/mm] Wir wissen schon aus dem vorangegangenen, dass $A^tA$ hier sicher auch positiv semidefinit ist. Wir wollen zeigen, dass [mm] $x^t(A^tA)x [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] ist:
Angenommen, das wäre nicht so. Dann gibt es ein $r [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] so, dass [mm] $r^t (A^tA)r=0\,.$ [/mm] Wie eben folgt dann [mm] $\|A*r\|^2=0\,,$ [/mm] also auch [mm] $\|A*r\|=0\,.$ [/mm] (Klar, oder? Eine Norm nimmt nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ und damit Werte in [mm] $\IR$ [/mm] an, und es gilt für $w [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dass $w=0 [mm] \gdw w^2=0\,.$)
[/mm]
Jetzt musst Du zwei kleine Überlegungen machen, und wirst erkennen, dass [mm] $\|A*r\|=0$ [/mm] hier [mm] $r=0\,$ [/mm] (die [mm] $0\,$ [/mm] des [mm] $\IR^n$) [/mm] impliziert.
(Tipp zur ersten Überlegung: Ist [mm] $\|.\|$ [/mm] die Norm des [mm] $\IR^m\,,$ [/mm] so gilt für $y [mm] \in \IR^m\,,$ [/mm] dass [mm] $\|y\|=0 \Rightarrow y=0\,.$)
[/mm]
Das ist ein Widerspruch zur Annahme [mm] $r\in \IR^n \setminus \{0\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
[mm] ||Ar||^2 [/mm] =0
=> ||Ar||=0
wegen Kriterium der Norm=> Ar =0
Nun müsste ich doch mit dem Rank noch etwas anfangen können oder=?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]||Ar||^2[/mm] =0
> => ||Ar||=0
> wegen Kriterium der Norm=> Ar =0
>
> Nun müsste ich doch mit dem Rank noch etwas anfangen
> können oder=?
ja. Du hast's ja schon gesagt, dass wegen [mm] $\text{rank}(A)=n$ [/mm] nun die Abbildung [mm] $f=f_A: \IR^n \to \IR^m$ [/mm] mit [mm] $f_A(x):=A*x$ [/mm] ($x [mm] \in \IR^n$) [/mm] injektiv ist. (Du hast es kürzer ausgedrückt, ich glaube so: [mm] $A\,$ [/mm] ist injektiv.)
[mm] $f_A$ [/mm] ist eine lineare Abbildung. Da gibt's doch einen Satz, der bei linearen Abbildungen die Injektivität sogar charakterisiert:
Genau dann ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen injektiv, wenn der Kern der Abbildung "was" ist?
Aber soviel brauchst Du gar nicht. Dir reicht's schon, dass [mm] $f_A$ [/mm] injektiv ist (also nur die eine Folgerungsrichtung aus dem Charakterisierungssatz). Denn offenbar ist dann [mm] $f_A(0)=0$ [/mm] (linkerhand die $0 [mm] \in \IR^n\,,$ [/mm] rechterhand die des [mm] $\IR^m$) [/mm] - das wüßten wir alleine schon deswegen, weil [mm] $f_A$ [/mm] als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen den Nullvektor des Definitionsbereichs auf den Nullvektor des Zielbereichs abbildet!
Wenn [mm] $f_A$ [/mm] injektiv ist: Kann es dann ein weiteres $x' [mm] \in \IR^n\,,$ [/mm] also ein $x' [mm] \not=0$ [/mm] geben mit [mm] $f_A(x')=0$? [/mm] Also was folgt dann aus $A*r=0$?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
danke dir ;)
Ist nun alles klar
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