Term (in C) -> Stammfu. (in R) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:17 Do 25.06.2015 | | Autor: | smoot |
| Aufgabe | Gegebene Funktion:
y = [mm] \bruch{2*y^{4}+y^{3}+5*y^{2}+5*y-3}{y^{3}+y}
[/mm]
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung [mm] (\in \IC [/mm] ) und finden Sie aus dieser eine Stammfunktion [mm] (\in \IR [/mm] , also ohne j). |
Zunächst einmal die Nullstellen:
0, y-j und y+j
Durch das übliche Verfahren (Konstanten bestimmen, Koeffizientenvergleich [..] komme ich dann für die Partialbruchzerlegung auf:
y,p = [mm] 2*y+1+\bruch{-3}{y}+\bruch{3-2*j}{y-j}+\bruch{3+2*j}{y+j}
[/mm]
Die Stammfunktion aus der Lösung sieht folgendermaßen aus:
[mm] G(y)=-3*ln(y)+3*ln(y^{2}-1)+4*arctan(y)+\bruch{2*y^{2}+2*y}{2}
[/mm]
Jedoch kann ich gar nicht nachvollziehen, wie diese Stammfunktion zustande gekommen ist.
Ich kann mir nur erklären dass:
[mm] \bruch{-3}{y} [/mm] <=> -3*ln(y)
Meine Frage ist nun, wie bekommt man das j aus dem Term von der Partialbruchzerlegung heraus?(Da die Stammfunktion ja [mm] \in \IR [/mm] sein soll.
Weiter wäre ich euch dankbar wenn ihr mir die ersten Ansätze für die Stammfunktion aufzeigen könntet.
Vielen Dank für eure Bereitschaft.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:48 Do 25.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Gegebene Funktion:
>
> y = [mm]\bruch{2*y^{4}+y^{3}+5*y^{2}+5*y-3}{y^{3}+y}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung [mm](\in \IC[/mm] ) und
> finden Sie aus dieser eine Stammfunktion [mm](\in \IR[/mm] , also
> ohne j).
> Zunächst einmal die Nullstellen:
>
> 0, y-j und y+j
>
> Durch das übliche Verfahren (Konstanten bestimmen,
> Koeffizientenvergleich [..] komme ich dann für die
> Partialbruchzerlegung auf:
>
> y,p =
> [mm]2*y+1+\bruch{-3}{y}+\bruch{3-2*j}{y-j}+\bruch{3+2*j}{y+j}[/mm]
>
Habe ich nicht nachgerechnet!
> Die Stammfunktion aus der Lösung sieht folgendermaßen
> aus:
>
> [mm]G(y)=-3*ln(y)+3*ln(y^{2}-1)+4*arctan(y)+\bruch{2*y^{2}+2*y}{2}[/mm]
>
> Jedoch kann ich gar nicht nachvollziehen, wie diese
> Stammfunktion zustande gekommen ist.
>
> Ich kann mir nur erklären dass:
>
> [mm]\bruch{-3}{y}[/mm] <=> -3*ln(y)
>
>
> Meine Frage ist nun, wie bekommt man das j aus dem Term von
> der Partialbruchzerlegung heraus?(Da die Stammfunktion ja
Addiere die beiden komplexen Brueche (Hauptnenner bestimmen, erweitern, Zaehler addieren etc.). Dann solltest du einen Bruch bekommen, dessen Nenner [mm] $1+y^2$ [/mm] ist.
> [mm]\in \IR[/mm] sein soll.
> Weiter wäre ich euch dankbar wenn ihr mir die ersten
> Ansätze für die Stammfunktion aufzeigen könntet.
Eine Stammfunktion von [mm] $1/(1+y^2)$ [/mm] (als Funktion von $y$) ist [mm] $\arctan(y)$.
[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Bereitschaft.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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